Rechenproblem

28.03.2013, 11:03	VWLer	Auf diesen Beitrag antworten »
Rechenproblem Meine Frage: Hallo, wie komme ich hier auf das Ergebnis? $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^\infty ((1/2)^kln(2^k)) = ln(4) \end{eqnarray}$ LaTeX-Tags ergänzt. Steffen Danke im Voraus! Meine Ideen:* - spontan dachte ich an eine geometrische Reihe mit \|q\|<1 um die Summe herauszubekommen
28.03.2013, 11:11	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
Geometrische Reihe ist schon gutes Stichwort, ist aber so direkt nicht anwendbar. Betrachte mal folgendes : $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^\infty \left(\frac{1}{2}\right)^k \ln(2^k) = \sum_{k=1}^\infty \left(\frac{1}{2}\right)^{k-1}\left(\frac{1}{2}\right) k\ln(2) = \frac{\ln(2)}{2}\sum_{k=1}^\infty k\left(\frac{1}{2}\right)^{k-1} \end{eqnarray}$ Was fällt Dir bei der Summe ganz rechts auf?
28.03.2013, 11:37	VWLer	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke das ging flott. Ich komme genau hier nicht weiter. Naja was auffällt ist eben dass die Teilsummen gegen 0 laufen, aber das sagt ja mal garnichts aus.
28.03.2013, 11:41	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielleicht helfen dir die zwei Stichworte schon : Ableitung, Potenzreihe
28.03.2013, 12:23	VWLer	Auf diesen Beitrag antworten »
Für $\begin{eqnarray} a_{k} = 2k \end{eqnarray}$ folgt $\begin{eqnarray} \lim_{k \to \infty } \|a_{k} / a_{k+1}\| = 1 = r \end{eqnarray}$ . Nach dem Quotientenkriterium konvergiert die Reihe für \|x\|<1, somit auch für x=1/2. Kann man das so sagen?
28.03.2013, 12:34	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
Du sollst ja die Reihe nicht nur auf Konvergenz untersuchen, Du sollst den Grenzwert explizit berechnen und da hilft dir das Quotientenkriterium nicht. Offenbar hast Du über das Stichwort Ableitung auch noch nicht genügend nachgedacht. Man kann allgemein für $\begin{eqnarray} x \in (-1,1) \end{eqnarray}$ schreiben : $\begin{eqnarray} f(x) = \frac{1}{1 - x} = \sum_{k=0}^\infty x^k \end{eqnarray}$ Für diese x ist die Funktion f(x) differenzierbar und es gilt : $\begin{eqnarray} f'(x) = \left(\frac{1}{1 - x}\right)' = \sum_{i=0}^\infty (x^k)' \end{eqnarray}$ rechne das mal aus, was fällt Dir auf für $\begin{eqnarray} x = \frac{1}{2} \end{eqnarray}$ auf?
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28.03.2013, 13:03	VWLer	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja ok ist klar, nochmal zusammen: $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^\infty \left(\frac{1}{2}\right)^k \ln(2^k) = \sum_{k=1}^\infty \left(\frac{1}{2}\right)^{k-1}\left(\frac{1}{2}\right) k\ln(2) = \frac{\ln(2)}{2}\sum_{k=1}^\infty k\left(\frac{1}{2}\right)^{k-1} \end{eqnarray}$ Mit $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^\infty k\left(\frac{1}{2}\right)^{k-1} = \sum_{i=0}^\infty ((1/2)^k)' = 4 \end{eqnarray}$ folgt $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^\infty \left(\frac{1}{2}\right)^k \ln(2^k) = 2ln(2) = ln(4) \end{eqnarray}$ Vielen, vielen Dank!!!
28.03.2013, 13:07	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie ich sehe hast Du meinen Indexfehler auch gemacht . Aber ansonsten ist es so richtig!
28.03.2013, 13:40	VWLer	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja danke dass du dir die Zeit genommen hast, super nett von dir! (:

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