Herleitung Normalengleichung

28.03.2013, 14:19	wuerstchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Herleitung Normalengleichung Meine Frage: Hallo, ich bin grade dabei mir die analytische Herleitung der Normalengleichung verständlich zu machen. Doch sofort im ersten Schritt verstehe ich etwas nicht. Gegeben habe ich: $\begin{eqnarray} A \in \mathbb{R}^{mxn}, b \in \mathbb{R}^m, m > n \end{eqnarray}$ . $\begin{eqnarray} x^ = \underset{x \in \mathbb{R}^n}{argmin} \|\| Ax - b\|\|_{2}^{2} \end{eqnarray}$ So, und nu zum ersten Schritt: $\begin{eqnarray} f(x) = \|\|Ax-b\|\|_2^2=x^TA^TAx-2b^TAx+b^Tb \end{eqnarray}$ Das soll einfach ausmultipliziert sein, aber ich verstehe nicht, wie ich die $\begin{eqnarray} \|\|.\|\|_2 \end{eqnarray}$ da ordentlich auflöse. Meine Ideen:* Leider keine Vorhanden... Ich erkenne zwar die binomische Formel, die durch das Ausmultiplizieren da vertüdelt wird, aber wo genau ich die $\begin{eqnarray} A^T, x^T \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} b^T \end{eqnarray}$ herbekomme ... ich hoffe, dass mir jemand erklären kann wie ich darauf komme. Dank schonmal!
28.03.2013, 14:44	Math1986	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Herleitung Normalengleichung Wie ist die $\begin{eqnarray} \|\|.\|\|_2 \end{eqnarray}$ denn definiert?
28.03.2013, 15:06	wuerstchen	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Herleitung Normalengleichung Naja, die $\begin{eqnarray} \|\|.\|\|_2 \end{eqnarray}$ eines Vektors ist ja einfach die Länge ... gut ok Da kommt also schonmal das $\begin{eqnarray} b^Tb \end{eqnarray}$ her. Aber die $\begin{eqnarray} \|\|.\|\|_2 \end{eqnarray}$ der Matrix ist ja $\begin{eqnarray} \sqrt{\lambda(A^TA)} \end{eqnarray}$ , mit $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ als größtem Eigenwert. Da müsste doch irgendwo ein $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ übrig bleiben.
28.03.2013, 16:07	Math1986	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Herleitung Normalengleichung Der Ausdruck $\begin{eqnarray} f(x) = \|\|Ax-b\|\|_2^2=x^TA^TAx-2b^TAx+b^Tb \end{eqnarray}$ meint die Norm eines Vektors, mit Eigenwerten hat das nichts zu tun. Verwende $\begin{eqnarray} f(x) = \|\|Ax-b\|\|_2^2=(Ax-b)^T\cdot (Ax-b) \end{eqnarray}$ uns stell das Ganze etwas um.
29.03.2013, 09:43	wuerstchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Alles klar, vielen Dank! Dann hab ich mir da ja nahezu umsonst den Kopf zerbrochen
01.04.2013, 16:15	wuerstchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Tja, ... ich dachte ja ich habs, aber dem ist doch nicht so. Mir erschließt sich ein Schritt einfach nicht. $\begin{eqnarray} -A^Tx^Tb - b^TAx = 2b^TAx \end{eqnarray}$ Aber warum?? wie kann ich die beiden so zusammen rechnen? Ich habe gerechnet: $\begin{eqnarray} (Ax-b)^T(Ax-b)=(A^Tx^T-b^T)(Ax-b)=A^Tx^TAx-A^Tx^Tb-b^TAx+b^Tb \end{eqnarray}$ Danke..
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01.04.2013, 17:12	RavenOnJ	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} (Ax)^T = x^T A^T\Rightarrow (Ax)^T Ax = x^T A^T A x \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (Ax)^T b = (b^T Ax)^T \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (Ax)^Tb+b^T Ax = (b^T Ax)^T + b^T Ax = 2b^T Ax \end{eqnarray}$ da $\begin{eqnarray} b^T Ax \in\mathbb R\Rightarrow (b^T Ax)^T = b^T Ax \end{eqnarray}$ . Damit ergibt sich $\begin{eqnarray} (Ax-b)^T(Ax-b) = x^T A^T A x - 2b^T Ax + b^Tb \end{eqnarray}$
02.04.2013, 02:30	wuerstchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Nu hats endgültig Klick gemacht! Danke für die ausführliche Beschreibung. Gruß

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