Allgemeine Matrixform der Gruppe SO(2,C)

28.03.2013, 16:13

Implicit86

Allgemeine Matrixform der Gruppe SO(2,C)

Hallo,

ich habe folgendes Problem.

Wieso nehmen die Elemente aus $\begin{eqnarray*} SO(2, \mathbb{C}) \end{eqnarray*}$ folgende Form an:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} z & 0 \\ 0 & z^{-1} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} z \in \mathbb{C} \setminus \lbrace 0 \rbrace \end{eqnarray*}$ .

Ich habe leider keine Idee wie man das zeigen kann. Zudem bin ich verwirrt, denn ein Element aus SO(2) muss ja auch in $\begin{eqnarray*} SO(2, \mathbb{C}) \end{eqnarray*}$ enhalten sein, also z.B. auch
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \cos \alpha & \sin \alpha \\ -\sin \alpha & \cos \alpha \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} \alpha \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ .

Doch solch ein Element hat offensichtlich nicht die Gestalt wie oben. Natürlich kann man die Matrix komplex-diagonalisieren und dann auf die gewünschte Form bringen, aber wie kann ich direkt zeigen, dass jedes Element aus $\begin{eqnarray*} SO(2, \mathbb{C}) \end{eqnarray*}$ wirklich die oben genannte Gestalt annimmt?

Ich hoffe jemand kann mir hierbei weiterhelfen.

28.03.2013, 20:56

Che Netzer

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RE: Allgemeine Matrixform der Gruppe SO(2,C)
Wie habt ihr denn $\begin{eqnarray*} \mathrm {SO}(2,\mathbb C) \end{eqnarray*}$ definiert?

Bzw. woher ist diese Behauptung, die du da zitiert hast?

28.03.2013, 22:42

Implicit86

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Definiert wurde die Gruppe auf "natürliche Weise":

$\begin{eqnarray*} SO(2, \mathbb{C}) = \lbrace A \in \mathrm{Mat}(2, \mathbb{C}) \mid A^{T} A = 1_{2 \times 2}, \mathrm{det} A = 1 \rbrace \end{eqnarray*}$ ,

also wie die reelle Gruppe, nur mit komplexen Einträgen.

Die Behauptung findet man z.B. in dem Paper
"Deformation of the SO(2, C) subgroup of the Lorentz group"

oder auch in dem Buch "Representation Theory: A First Course" von Fulton.

Allerdings wird die Behauptung leider nicht gezeigt.

Wenn du aber z.B. in google "Chapter 2. Structure of Classical Groups" eingibst und das pdf im ersten Sucheintrag anklickst, dann wird auf Seite 10 die Gruppe mit Hilfe einer Bilinearform definiert und damit kann sehr einfach gezeigt werden, dass ein allgemeines Element der Gruppe die gewünschte Diagonalform hat.

Aber mir ist nicht ersichtlich wie das mit der "üblichen" Definition der Gruppe $\begin{eqnarray*} SO(2, \mathbb{C}) \end{eqnarray*}$ zusammenfällt.

28.03.2013, 22:55

Che Netzer

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Zitat:

Original von Implicit86
Wenn du aber z.B. in google "Chapter 2. Structure of Classical Groups" eingibst und das pdf im ersten Sucheintrag anklickst, dann wird auf Seite 10 die Gruppe mit Hilfe einer Bilinearform definiert und damit kann sehr einfach gezeigt werden, dass ein allgemeines Element der Gruppe die gewünschte Diagonalform hat.

Dort wird aber eine völlig andere Gruppe charakterisiert, nämlich die Matrizen $\begin{eqnarray*} M\in\mathbb C^{2,2} \end{eqnarray*}$ , für die
$\begin{eqnarray*} M^{\mathrm T}S_2M=S_2\,, \end{eqnarray*}$
wobei $\begin{eqnarray*} S_2=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ist – nicht die Einheitsmatrix.

In dem genannten Buch wird die gleiche Definition verwendet. Bzw. es wird eine entsprechende Bilinearform für $\begin{eqnarray*} \mathrm{SO}_2(\mathbb C) \end{eqnarray*}$ benutzt.

29.03.2013, 12:39

Implicit86

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OK, aber in dem genannten Paper wird
die SO(2,C) auf "übliche Weise" definiert und
behauptet das ein Element aus der Gruppe die gewünschte Diagonalform
aufweist.

Ich bin da richtig verwirrt...

OK, ich frag jetzt mal anders. Ich möchte letztendlich zeigen,
dass SO(2,C) isomorph zur multiplikativen Gruppe der komplexen Zahlen ist.

Ich weiß nicht wie ich das zeigen soll, es sei denn ich könnte
tatsächlich die Elemente aus SO(2,C) in der oben erwähnten Diagonalform angeben,
dann ist der Isomorphismus offensichtlich.

Vielleicht hast du hierzu eine Idee?

29.03.2013, 18:15

Implicit86

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ok, ich konnte das Problem lösen.

Man findet zunächst einmal die allgemeine Form einer Matrix
aus SO(2,C) und dann kann man mittels einer unitären Transformation,
jedes Element auf Diagonalform bringen. Die Transformation hängt dabei
nicht vom Element ab!

Dadurch kann man dann einen Isomorphismus zur Gruppe, die aus den
Elementen diag(z, z^-1) besteht, finden.

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