Berechnung einer Funktionenreihe mit rekursiver Folge

28.03.2013, 16:43	Stephan123	Auf diesen Beitrag antworten »
Berechnung einer Funktionenreihe mit rekursiver Folge Aufgabe: Es seien $\begin{eqnarray} a_{0} = 1 , a_{1} = 2 , a_{n+1} = a_{n} + 4a_{n-1} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_{n}x^{n} \end{eqnarray}$ mit Konvergenzradius r. a) Zeigen Sie $\begin{eqnarray} 0 < a_{n} \leq 4^{n} \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} n \in ~\mathbb N_{0} \end{eqnarray}$ b) Berechnen Sie $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ explizit im Intervall $\begin{eqnarray} (-\frac{1}{4} , \frac{1}{4}) \end{eqnarray}$ Hinweis: $\begin{eqnarray} a_{n+1}x^{n+1} = xa_{n}x^{n} + 4x^{2}a_{n-1}x^{n-1} \end{eqnarray}$ Meine Idee: Die a) habe ich folgendermaßen gemacht: als erstes zeige ich, dass $\begin{eqnarray} a_{n} > 0 \end{eqnarray}$ ist: $\begin{eqnarray} n=1: \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a_{1} > 0 \Leftrightarrow 2 > 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a_{1-1} > 0 \Leftrightarrow 1 > 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} n \rightarrow n+1 : \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a_{n+1} = a_{n} + 4a_{n-1} > 0 + 40 = 0 \end{eqnarray}$ Somit gilt für alle $\begin{eqnarray} n \in ~\mathbb N_{0} a_{n} > 0 \end{eqnarray}$ Jetzt kommt noch $\begin{eqnarray} a_{n} \leq 4^{n} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} n=1: \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a_{1} = 2 \leq 4^{1} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a_{1-1} = 1 \leq 4^{0} = 1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} n \rightarrow n+1 : \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a_{n+1} = a_{n} + 4a_{n-1} \leq 4^{n} + 4^{n} = 24^{n} < 44^{n} = 4^{n+1} \end{eqnarray}$ Somit ist a) gezeigt. Bei der b) komme ich nun nicht weiter. Das einzige, was mir einfällt ist über die geometrische Reihe zu zeigen, dass f im angegebenen Intervall konvergiert: $\begin{eqnarray} \forall x \in (-\frac{1}{4} , \frac{1}{4}):\sum_{n=0}^{\infty} a_{n}x^{n} \leq \sum_{n=0}^{\infty} (4x)^{n} = \frac{1}{1-4x} \end{eqnarray*}$ Somit würde f im angegebenen Intervall konvergieren, nur habe ich leider keine Idee, wie man den Wert genau bestimmen soll. Auch kann ich mit dem Hinweis nichts anfangen. Wäre nett wenn jemand weiterhelfen könnte
28.03.2013, 20:36	Grautvornix	Auf diesen Beitrag antworten »
Indexverschiebung Mit Teil a) und dem Hinweis folgt $\begin{eqnarray} f(x)-1-2x=x(f(x)-1)+4x^2f(x) \end{eqnarray}$ woraus sich die explizite Gestalt von $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ ergibt.
29.03.2013, 10:20	Stephan123	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, danke für die Antwort. Habe es damit dann nun so versucht: Der Hinweiß lautet ja: $\begin{eqnarray} a_{n+1}x^{n+1} = xa_{n}x^{n} + 4x^{2}a_{n-1}x^{n-1} \end{eqnarray}$ Ersetzt man nun in der Folge $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ durch $\begin{eqnarray} n+1 \end{eqnarray}$ folgt: $\begin{eqnarray} a_{n+2}x^{n+2} = xa_{n+1}x^{n+1} + 4x^{2}a_{n}x^{n} \end{eqnarray}$ Summiere ich nun auf beiden Seiten von $\begin{eqnarray} 0 \end{eqnarray}$ bis $\begin{eqnarray} \infty \end{eqnarray}$ alles über $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ auf und bringe die einzelnen Summen wieder in die form von $\begin{eqnarray} f(x) \end{eqnarray}$ komme ich auf deine Darstellung. Löse ich dies nun nach $\begin{eqnarray} f(x) \end{eqnarray}$ auf erhalte ich: $\begin{eqnarray} f(x) = \frac{1+3x}{1-x-4x^{2}} \end{eqnarray}$ Nun wäre meine Frage nur noch, an welcher Stelle ich Aufgabenteil a) nutze. Ich denke, dass es bei der Aufsumierung bis $\begin{eqnarray} \infty \end{eqnarray}$ geschieht, also beim bilden des Grenzwertes. Dies kann nur geschehen, wenn $\begin{eqnarray} x \in \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (-\frac{1}{4} , \frac{1}{4}) \end{eqnarray}$ ist, da ich nur hier weis, dass es den Grenzwert gibt. Stimmt das so?

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