Definitionsbereich einer Funktionenreihe bestimmen

28.03.2013, 18:10	Christian_P	Auf diesen Beitrag antworten »
Definitionsbereich einer Funktionenreihe bestimmen Habe folgenden Funktion gegeben: $\begin{eqnarray} f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\left(x+\frac{1}{n}\right)^n \end{eqnarray}$ der Definitionsbereich soll bestimmt werden: Ich vermut, das damit der Bereich von $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ gemeint ist, in dem die Summe $\begin{eqnarray} f(x) \end{eqnarray}$ existiert, also endlich ist. Walpha gibt mir einen Konvergenzbereich von $\begin{eqnarray} -1 < x < 1 \end{eqnarray}$ an. Nun würde ich das gern sachlich begründen. Muss man da den Binomischen Satz anwenden? Und wenn ja wie am besten? Danach soll dann noch die Stetigkeit untersucht werden. Ein kleiner Tipp wäre echt nett. Gruß, Christian
28.03.2013, 18:57	Guti	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja das ganze sieht ja aus wie eine geometrische Reihe, damit Konvergenz eintritt muss der Term kleiner 1 sein... nur so als Denkanstoß
29.03.2013, 00:04	Christian_P	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Guti, danke für deinen Tipp! Das habe ich mir auch schon gedacht. Wenn ich das allgemeine Glied der Reihe nach oben abschätzen könnte, hätte ich eine gute Begründung. Nur wie könnte ich das nun am besten begründen? Gruß, Christian
29.03.2013, 09:18	Grautvornix	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn ein beliebiges $\begin{eqnarray} x\in\mathbb R \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \|x\|<1 \end{eqnarray}$ gegeben ist; wie viele der Summanden $\begin{eqnarray} \left(x+\frac1n\right) \end{eqnarray}$ können dann betragsmäßig größer oder gleich 1 sein?
29.03.2013, 13:40	Christian_P	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke Grautvornix, für deinen Hinweis! Es können nur endlich viele n sein. $\begin{eqnarray} \left\lvert x +\frac{1}{n} \right\rvert \leq \left\lvert x \right\rvert + \left\lvert \frac{1}{n} \right\rvert = \left\lvert x \right\rvert + \frac{1}{n} \leq 1 \; \Leftrightarrow \; n \geq \frac{1}{1-\left\lvert x \right\rvert }\; \mid \left\lvert x \right\rvert < 1 \end{eqnarray}$ Also $\begin{eqnarray} \exists\; n = \left\lceil \frac{1}{1-\left\lvert x \right\rvert } \right\rceil \in \mathbb{N} \; \; \forall \; \|x\|<1 \; : \; \forall \; n'>n \left( \left\lvert x +\frac{1}{n} \right\rvert < 1\right) \end{eqnarray}$ Damit verhälten sich die Reihenglieder ab einem gewissen n wie eine geometrische Reihe, die für alle $\begin{eqnarray} \|x\|<1 \end{eqnarray}$ konvergiert. Kann ich den Wert der Summe explizit angeben? Was könnte ich zur Stetigkeit sagen? Gruß, Christian

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