Exponentialmatrix

28.03.2013, 18:17	XHotSniperX	Auf diesen Beitrag antworten »
Exponentialmatrix Heyyyy Jungssss In unserem aktuellen Thema verwenden wir unter anderem die Expomatrix wieder und deswegen gibt es eine Aufgabe, bei der man etwas zeigen soll. Ich habs leider nicht mehr aktuell im Kopf Aufgabe: Sei A eine quadratische n x n-Matrix mit reellen oder komplexen Einträgen. Zeigen Sie, dass dann für alle t > 0 gilt: $\begin{eqnarray} det(e^{tA})=e^{t\cdot SpurA} \end{eqnarray}$ Hinweis: Über $\begin{eqnarray} \mathbb C \end{eqnarray}$ ist A ähnlich einer oberen Dreiecksmatrix. Ich hab mal so angefangen: Über $\begin{eqnarray} \mathbb C \end{eqnarray}$ ist A ähnlich einer oberen Dreiecksmatrix B. $\begin{eqnarray} \Rightarrow A=S^{-1}BS \Rightarrow e^{tA}=e^{tS^{-1}BS} \Rightarrow det(e^{tA})=det(e^{tS^{-1}BS})=...=e^{t\cdot SpurA} \end{eqnarray}$ Ich möchte nun den fehlenden Teil (...) machen, um es zeigen zu können. Habt ihr Ratschläge?
28.03.2013, 19:40	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Exponentialmatrix Dann schreibe doch mal die Definition von $\begin{eqnarray} \mathrm e^{tS^{-1}BS} \end{eqnarray}$ auf.
29.03.2013, 16:09	XHotSniperX	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok machen wir das mal: $\begin{eqnarray} det(e^{tA})=det(e^{tS^{-1}BS})=det(S^{-1}e^{tB}S)=det(S^{-1})det(e^{tB})det(S)=det(S^{-1})e^{t\cdot SpurB}det(S) \end{eqnarray}$ Richtig? Wie mache ich aus B nun A?
29.03.2013, 16:14	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Ähnliche Matrizen haben die gleiche Spur.
29.03.2013, 16:37	XHotSniperX	Auf diesen Beitrag antworten »
ah ja stimmt genau. ok dankeeee

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