R-Algebren

28.03.2013, 22:07

asura

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R-Algebren

Meine Frage:
Hallo,

ich habe eine Frage zu R-Algebren. Ist die natürliche Einbettung:A
f: R->C, a |-> a+0i (wobei mit R die reellen und C die komplexen Zahlen gemeint sind)
die Einzige R-Algebra von den reellen Zahlen in die Komplexen?

Meine Ideen:
Eigentlich hatten wir das in der Vorlesung so verwendet, aber wenn ich mal spontan nachdenke, müsste doch folgende Abbildung auch eine R-Algebra definieren:
f: R->C, a |-> a+ai

Was meint Ihr?

29.03.2013, 12:21

Elvis

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Berechne $\begin{eqnarray*} (1+i)^2 \end{eqnarray*}$ , das liegt offensichtlich nicht in $\begin{eqnarray*} \{a+ai:a\in\mathbb R\} \end{eqnarray*}$ , also ist diese Menge kein Ring.
Jede andere Gerade ausser $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ funktioniert aus demselben Grund genau so nicht.
(Die komplexe Multiplikation ab=c ist eine Drehstreckung ausser für reelle a oder b.)

29.03.2013, 21:00

asura

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Ich verstehe das nicht ganz.
Leider habe ich über R-Algebren nicht allzuviel im Netz gefunden, aber dem Skript nach müsste es folgendes bedeuten:
Es gibt eine Abbildung von den (in diesem Fall) reellen in die komplexen Zahlen die ein Homomorphismus ist.
Sagen wir f: R->C wobei diese Teilmenge von C ein Ring mit 1 sein muss.
f(s) Element von des Zentrums von C.

Was ich nun nicht ganz verstehe: Wie erkenne ich am besten, wie viele R-Algebren es von R nach C geben kann? Ich meine, die Menge an Abbildungen ist ja quasi unbegrenzt...

29.03.2013, 22:27

URL

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Wenn $\begin{eqnarray*} f:\mathbb{R}\to \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ ein Ringhomomorphismus sein soll, dann ist zunächst $\begin{eqnarray*} f(1)=a+ib \end{eqnarray*}$ für gewisse $\begin{eqnarray*} a,b\in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ .
Jetzt würde ich $\begin{eqnarray*} f(1)=f(1\cdot 1) \end{eqnarray*}$ betrachten.

Das ist im Grunde nichts anderes als die Aussage von Elvis - nur für Fußgänger Augenzwinkern

Augenzwinkern

30.03.2013, 08:25

asura

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Zitat:

Original von URL
Wenn $\begin{eqnarray*} f:\mathbb{R}\to \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ ein Ringhomomorphismus sein soll, dann ist zunächst $\begin{eqnarray*} f(1)=a+ib \end{eqnarray*}$ für gewisse $\begin{eqnarray*} a,b\in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ .
Jetzt würde ich $\begin{eqnarray*} f(1)=f(1\cdot 1) \end{eqnarray*}$ betrachten.

Das ist im Grunde nichts anderes als die Aussage von Elvis - nur für Fußgänger Augenzwinkern

Augenzwinkern

Naja gut, weil es ein Ringhomomorphismus ist, muss gelten:
$\begin{eqnarray*} f(1)=f(1*1)=f(1)*f(1) \end{eqnarray*}$
Da ein Ringt das neutrale Element der Multiplikation enthält, muss f(1)=1 (wenn 1 das neutrale Element der Multiplikation meint) sein.

Und hieran kann man dann ja erkennen, dass alle Elemente wieder auf sich abgebildet werden müssen. Verstehe ich das richtig?
Ist dies eigentlich immer so?
Oder gibt es auch Ringe etc. zu denen verschiedene R-Algebren bzw. andere als die natürliche Einbettung existieren.

30.03.2013, 10:02

URL

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Ich glaube, so einfach geht das nicht. Zunächst muss ein Ring nicht zwangsläufig ein Einselement haben, und wenn doch, muss nicht f(1)=1 gelten, auch wenn f ein Ringhomomorphismus ist.

Schreib doch $\begin{eqnarray*} f(1)* f(1) \end{eqnarray*}$ auf und vergleiche mit $\begin{eqnarray*} f(1) \end{eqnarray*}$

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30.03.2013, 11:25

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Was schreibe ich denn da? Forum Kloppe

Forum Kloppe

Für einen Ringhomomorphismus $\begin{eqnarray*} f:\mathbb{R}\to \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ gilt natürlich immer f(1)=1
Bitte entschuldige

30.03.2013, 12:21

Che Netzer

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Außer im Fall $\begin{eqnarray*} f=0 \end{eqnarray*}$ Augenzwinkern

Augenzwinkern

30.03.2013, 16:26

Elvis

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Wenn f(1)=0 ist , dann ist f(1)=0+0*i. Wenn f(1)=1 ist, kann nicht f(1)=a+ai sein.

30.03.2013, 16:49

URL

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Die von asura vorgeschlagene Abbildung tut es nicht, da sind wir uns einig.
Mir ist aber auch nicht klar, ob die natürliche Einbettung die einzige R-Algebra von den reellen Zahlen in die komplexen ist.
Ich denke, der gesuchte Homomorphismus - wenn er denn nicht trivial sein soll Augenzwinkern

Augenzwinkern

- muss $\begin{eqnarray*} f(r)=r \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} r\in \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ erfüllen.
Folgt daraus schon, dass es nur die Identität sein kann?

31.03.2013, 09:54

asura

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Ja eventuell, ich bin mir da eben auch nicht sicher. Wir haben in der Vorlesung immer wie selbstverständlich (zumindest kam es mir so vor) angenommen, dass dies die einzige R-Algebra ist.
Denn dann hat man ein nützliches Werkzeug zur Hand, denn im Falle eines Homomorphismus von R-Algebren muss dann gelten:
h(r)=r
Wenn h eine Abbildung von den komplexen Zahlen in die komplexen ist und beides R-Algebren sind.

31.03.2013, 17:17

Elvis

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Eine reelle Algebra ist ein Ring, der ein reeller Vektorraum ist. Also ist für $\begin{eqnarray*} r \in \mathbb R : f(r)=f(r*1)=r*f(1)=r\cdot 1=r \end{eqnarray*}$ . Oder nicht ? verwirrt

verwirrt

01.04.2013, 14:06

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Aber f ist doch nur ein Ringhomomorphismus, also wäre doch nur $\begin{eqnarray*} f(r)=f(r*1)=f(r)*f(1) \end{eqnarray*}$ verwirrt

verwirrt

01.04.2013, 14:26

Elvis

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Da ich mir nicht ganz sicher war, habe ich ja auch geschrieben "oder nicht". Augenzwinkern

Augenzwinkern

02.04.2013, 14:55

tmo

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Es gibt in der Tat unendlich viele Körperautomorphismen von $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ . Alle bis auf zwei davon halten insbesondere $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ nicht fest, deren Einschränkung auf $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ wäre also eine weitere (von der natürlichen Einbettung verschiedene) Einbettung $\begin{eqnarray*} \mathbb R \hookrightarrow \mathbb C \end{eqnarray*}$ .

Da man andersrum aber jede solche Einbettung zu einem Körperautomorphismus fortsetzen kann, sind diese Algebren alle isomorph. Also gibt es doch wieder nur eine einzige 2-dimensionale nullteilerfreie $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ -Algebra. Nämlich $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ (mit der Einbettung, die wir für natürlich halten).

04.04.2013, 20:01

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Merci

Wink

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