Wurzelterm umformen

29.03.2013, 12:38

Magnus87

Wurzelterm umformen

Edit (mY+): Bitte keine Hilfe anfordern, schon gar nicht im Titel. Dieser wurde modifiziert.

Hi, wie komme ich von dem folgenden Tern zum gleich gezeichten.

$\begin{eqnarray*} \frac{R^{2} }{\sqrt{R^{2}-x^{2} } } = \sqrt{ \frac{1}{1-(\frac{x^{2} }{R})^{2} ) } } \end{eqnarray*}$

29.03.2013, 13:20

Kasen75

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Hallo,

so wie es dasteht, stimmt es im Allgemeinen auch nicht. Vielleicht hast du dich auch verschrieben.

Grüße.

29.03.2013, 14:00

Magnus87

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hi, wie würdest du denn den linken Term weiter kürzen bzw weiter umformen, wenn du ihn "Integrieren müsstest"???

29.03.2013, 15:26

Kasen75

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Ich würde als Erstes $\begin{eqnarray*} R^2 \end{eqnarray*}$ vor das Integral schreiben:

$\begin{eqnarray*} R^2 \cdot \int \! \frac{1 }{\sqrt{R^{2}-x^{2} } } \, dx \end{eqnarray*}$

Dann gibt es zwei Möglichkeiten:

1. Man schaut in eine Tabelle für Grundintegrale. Dort steht unter anderem:

$\begin{eqnarray*} \int \! \frac{1 }{\sqrt{a^{2}-x^{2} } } \, dx=arcsin\left( \frac{x}{a} \right)+C \end{eqnarray*}$

Hier muss man nur noch einsetzen.

2. Man substituiert:

$\begin{eqnarray*} x=R \cdot sin(t) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{dx}{dt}=R \cdot cos(t) \Rightarrow dx=R \cdot cos(t) dt \end{eqnarray*}$

Die Ausdrücke kann man dann in das obige Integral einsetzen.

Bei weiterem Vorgehen macht man sich zu Nutze, dass $\begin{eqnarray*} cos^2(t) + sin^2(t)=1 \end{eqnarray*}$ ist.

29.03.2013, 17:40

Magnus87

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Zitat:

Original von Kasen75
2. Man substituiert:

$\begin{eqnarray*} x=R \cdot sin(t) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{dx}{dt}=R \cdot cos(t) \Rightarrow dx=R \cdot cos(t) dt \end{eqnarray*}$

Die Ausdrücke kann man dann in das obige Integral einsetzen.

Bei weiterem Vorgehen macht man sich zu Nutze, dass $\begin{eqnarray*} cos^2(t) + sin^2(t)=1 \end{eqnarray*}$ ist.

erstmal danke für die Antwort.

wie kommt du gerade auf diese Substitution?

ich dachte man Substituiert und entfernt dadurch "vorerst" alles was stört, aber du scheinst so ja noch mehr für x ein zu bringen, das verwirrt mich etwas, der Ausdruck wird dann doch größer.

ist das eine Art Hilfsfunktion?

29.03.2013, 17:56

Kasen75

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Zitat:

wie kommt du gerade auf diese Substitution?

Ich bin nicht selber drauf gekommen. Ich weiß einfach, dass es bei dieser Art von Funktion hilfreich ist so zu substituieren.

Zitat:

ist das eine Art Hilfsfunktion?

Genau. Dadurch kann man eben das Integral bestimmen, weil f(x) eine bestimmte Bauart hat.

Zitat:

ich dachte man Substituiert und entfernt dadurch "vorerst" alles was stört

Zumindest habe ich schon mal das $\begin{eqnarray*} R^2 \end{eqnarray*}$ vor das Integralzeichen verfrachtet.

29.03.2013, 18:07

Magnus87

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Das ist ja eine supercoole idee,

man substituiert also x und sagt es sei abhängig von einer Sinusfunktion, die wiederum von t abhängt Big Laugh

meine güte Big Laugh

ja das ist schonmal eine tolle vereinfachung wäre ich selber nie drauf gekommen. smile

(kennst du zufällig eine pdf oder sowas, in der der Umgang mit solchen Hilfsfunktionen eingesetzt werden, und wann sie Sinnvoll sind?)

29.03.2013, 18:13

Kasen75

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Zitat:

ja das ist schonmal eine tolle vereinfachung wäre ich selber nie drauf gekommen.

Ich auch nicht. smile

Zumindest nicht in einer erträglichen Zeit.

Leider habe ich jetzt keine solche pdf-Datei parat. Stell die Frage doch in einem neuen Thema. Vielleicht kann jemand helfen.

30.03.2013, 09:50

Magnus87

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fortsetzung der Umformung:

$\begin{eqnarray*} R\int \! \frac{1}{\sqrt{R^{2}-x^{2} } } \, dx \end{eqnarray*}$

Vermutung: da es sich um einen Kreis handelt
$\begin{eqnarray*} x= R\cdot sin(t) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x= R^{2} \cdot sin^{2} (t) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} R\int \! \frac{1}{\sqrt{R^{2}- R^{2} \cdot sin^{2} (t) } } \, dx \end{eqnarray*}$

30.03.2013, 09:59

Magnus87

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sollte ich nicht lieber
R²+ sin²(t) ersetzen, also eine summe?

dann könne ich nämlich vereinfachen Big Laugh

30.03.2013, 14:55

Kasen75

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Du hast das hier stehen :

$\begin{eqnarray*} R^{\textcolor{red}{2}}\int \! \frac{1}{\sqrt{R^{2}- R^{2} \cdot sin^{2} (t) } } \, dx \end{eqnarray*}$

Soweit so gut. Jetzt kann man erstmal $\begin{eqnarray*} R^2 \end{eqnarray*}$ im Nenner Ausklammern. Am Besten gleich vor die Wurzel:

$\begin{eqnarray*} R^{\textcolor{red}{2}}\int \! \frac{1}{R\sqrt{1- sin^{2} (t) } } \, dx \end{eqnarray*}$

Wenn du jetzt für dx die Substitution einsetzt und beim Ausdruck unter der Wurzel den trigonometrischen Pythagoras anwendest vereinfacht sich vieles.

Dann kann man ganz einfach auch das Integral berechnen- einfacher geht es nicht. Danach Rücksubstitution.

Zitat:

sollte ich nicht lieber
R²+ sin²(t) ersetzen, also eine summe?

dann könne ich nämlich vereinfachen

Probiere es einfach mal aus. Bedenke dabei, das du dann auch dx substituierst.
Wesentlich komplizerter wird auf jeden Fall der Ausdruck für dx, wenn $\begin{eqnarray*} x=\sqrt{R²+ sin²(t)} \end{eqnarray*}$ (wenn ich dich richtig verstanden habe).

02.04.2013, 13:51

Magnus87

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Hallo,

ich habe nun integriert, jedoch ist mein Ergebnis etwas merkwürdig und eventuell fehlt mir hintergrundwissen für eine weitere vereinfachung:

der Term lautet

$\begin{eqnarray*} R^2 \frac{sin(arcsin(\frac{x}{R} }{sin(arcsin(\frac{x}{R}} \end{eqnarray*}$

02.04.2013, 14:57

Kasen75

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ich wäre dir dankbar, wenn du deine Rechnung postest. Ich weiß gar nicht woher du kommst und wie du hierher gekommen bist.

02.04.2013, 16:21

Magnus87

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Zitat:

Original von Kasen75

$\begin{eqnarray*} R^{\textcolor{red}{2}}\int \! \frac{1}{R\sqrt{1- sin^{2} (t) } } \, dx \end{eqnarray*}$

Wenn du jetzt für dx die Substitution einsetzt und beim Ausdruck unter der Wurzel den trigonometrischen Pythagoras anwendest vereinfacht sich vieles.

Dann kann man ganz einfach auch das Integral berechnen- einfacher geht es nicht. Danach Rücksubstitution.

wenn $\begin{eqnarray*} x=\sqrt{R²+ sin²(t)} \end{eqnarray*}$ (wenn ich dich richtig verstanden habe).

ich hab das hier soweit befolgt bis ich zum Term
$\begin{eqnarray*} R^2 \int \! \frac{1}{cos(t)} \, dx \end{eqnarray*}$

jetzt meinst du muss ich dx rücksubstituieren?
ich denke hier ist mein Fehler.

x= R*sin(t)
demnach die Ableitung
dx/dt= R*cos(t) und das eingesetzt

dann erhält man:

$\begin{eqnarray*} R^2\int\! R\frac{cos(t)}{cos(t)} \, dt \end{eqnarray*}$

02.04.2013, 16:51

Kasen75

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Du bist irgendwie mit den R´s durcheinander gekommmen:

$\begin{eqnarray*} R^{2}\int \! \frac{1}{R\sqrt{1- sin^{2} (t) } } \, dx \end{eqnarray*}$

trig. Pythagoras:

$\begin{eqnarray*} R^{2}\int \! \frac{1}{R\sqrt{cos^{2} (t) } } \, dx \end{eqnarray*}$

Jetzt einfach die Substitution, $\begin{eqnarray*} dx=R \cdot cos(t) dt \end{eqnarray*}$ einsetzen.

Danach kürzen.

02.04.2013, 17:06

Magnus87

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$\begin{eqnarray*} R^2\int \frac{cos(t}{cos(t} \, dt \end{eqnarray*}$

komplett gekürzt wäre es dann:

$\begin{eqnarray*} R^2\int \ 1 \, dt \end{eqnarray*}$

was nehme ich jz um rückzusubstituieren? also um das dt weg zu kriegen?

was ist, wenn ich nun im bestimmten Integral von 0 bis R Integrieren möchte?

02.04.2013, 17:28

Kasen75

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Jetzt noch nicht Rücksubstituieren.

Erst mal integrieren. Du musst dir nur überlegen, was das Integral von 1 ist. Oder umgekehrt. Welcher Ausdruck, der abgeleitet wird, ergibt 1?

Da wir bis jetzt keine Grenzen hatten, würde ich abwarten, bis du das Integral gefunden hast. Dann kannst du Grenzen einsetzen.

02.04.2013, 17:33

Magnus87

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ich wollte nur nochmal zwischendurch Danke sagen.

$\begin{eqnarray*} R^2\int \ 1 \, dt \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} R^2 t \end{eqnarray*}$

demnach müste es das sein! oder?

so und nun unsere anderen überlegungen. smile

02.04.2013, 17:40

Kasen75

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O.K.

Noch die Integrationskonstante:

$\begin{eqnarray*} R^2 t+C \end{eqnarray*}$

Jetzt war ja $\begin{eqnarray*} x=R \cdot sin(t) \end{eqnarray*}$

Um jetzt rücksubstituieren zu können muss man die obige Gleichung nach t auflösen und dann einsetzen.

02.04.2013, 17:42

Magnus87

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mom edit

02.04.2013, 17:46

Magnus87

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$\begin{eqnarray*} R^2 arcsin(\frac{x}{R} +C \end{eqnarray*}$

Jetzt war ja t= arcsin(\frac{x}{R} )

02.04.2013, 17:57

Kasen75

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Genau.

$\begin{eqnarray*} R^2 arcsin \left(\frac{x}{R} \right) +C \end{eqnarray*}$

Hier kannst du dann auch deine Grenzen einsetzen.

02.04.2013, 18:05

Magnus87

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also R und 0 hmmm

02.04.2013, 18:16

Kasen75

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Exakt.

Wobei man nicht über Nullstellen hinweg integrieren darf. Das hängt wiederum davon ab wie groß C ist, ob es Nullstellen gibt.

02.04.2013, 18:17

Magnus87

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$\begin{eqnarray*} R^2 arcsin \left(\frac{R}{R} \right) \end{eqnarray*}$

also
$\begin{eqnarray*} R^2 arcsin \left(1 \right) \end{eqnarray*}$

Edit:
hmm irgendwie sieht das nicht für die formel vom kreisumfang aus^^

02.04.2013, 18:43

Kasen75

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Sieht eher aus nach der Flächenformel für einen Viertelkreis aus.

$\begin{eqnarray*} arcsin(1) = \frac{\Pi}{4} \end{eqnarray*}$

02.04.2013, 18:47

Magnus87

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hey wenn ich das dann ableiten würde, erhielt ich dann die formel für eine Linie wie der Bogenlänge? Big Laugh

03.04.2013, 03:07

Kasen75

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Zitat:

Original von Kasen75
Sieht eher aus nach der Flächenformel für einen Viertelkreis aus.

$\begin{eqnarray*} arcsin(1) = \frac{\Pi}{4} \end{eqnarray*}$

Es muss so heißen:

Sieht eher aus nach der Flächenformel für einen Halbkreis aus.

$\begin{eqnarray*} arcsin(1) = \frac{\Pi}{2} \end{eqnarray*}$

Hab mich vertan.

Aber wenn du die Bogenlänge ausrechnen willst, dann gilt folgende Formel:

$\begin{eqnarray*} \int \sqrt{1+{[f'(x)]}^2} \, \ dx \end{eqnarray*}$

Bei Kreis: mit $\begin{eqnarray*} f(x)=\sqrt{R^2-x^2} \end{eqnarray*}$

Zitat:

hey wenn ich das dann ableiten würde, erhielt ich dann die formel für eine Linie wie der Bogenlänge?

Du bekommst "nur" die Funktion f(x), von der du ausgegangen bist.
Integriert man diese kann man eben die Fläche des Halbkreises berechnen.

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