Matrizenprodukte

29.03.2013, 18:35

herrmy

Matrizenprodukte

Hallo,

habe ein Problem mit dieser Matrizen Aufgabe.

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Berechnen Sie für die Matrizen

A=
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} cos(a) & -sin(a)\\ sin(a) & cos(a) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

B=
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -cos(a) & sin(a)\\ sin(a) & cos(a) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

die Matrizenprodukte AB und BA.
Für welche Werte von a sind die Matritzenprodukte gleich?

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Also als erstes AB:

AB=
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} cos(a)*(-cos(a))-sin(a)*sin(a) & cos(a)*sin(a)-sin(a)*cos(a)\\ sin(a)*(-cos(a))+cos(a)*sin(a) & sin(a)*sin(a)+cos(a)*cos(a)\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

=
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -cos^2(a)-sin^2(a) & cos(a)*sin(a)-sin(a)*cos(a)\\ sin(a)*(-cos(a))+cos(a)*sin(a) & sin^2(a)+cos^2(a)\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

BA=
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -cos^2(a)+sin^2(a) & -cos(a)*(-sin(a))\\ sin(a)*cos(a)+sin(a)*cos(a) & -sin^2(a)+cos^2(a)\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Also ist der Wert oben links gleich...

ist es so richtig oder sind noch mehr werte gleich?

danke schonmal im Voraus!

29.03.2013, 18:49

lgrizu

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RE: Matrizenprodukte
Also richtig ist das, aber noch nicht vollständig vereinfacht, die Matrix AB kann man noch einfacher darstellen, Stichwort Pyhagoras und additiv inverses.

Die Frage ist nun, für weche a die Produkte AB und BA gleich sind, dazu solltset du vielleicht das Produkt BA noch ausrechnen.

30.03.2013, 20:57

herrmy

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ich hab es oben mal editiert.

ist es so korekt? ich brauch es eigentlich nicht weiter vereinfachen oder?

30.03.2013, 22:17

lgrizu

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Bi8tte nicht dieses herumeditieren wenn bereits eine Antwort da ist, das ist unproduktiv, da ich den Unterschied zu dem vorherigen Post, also zu dem nicht editierten nicht sehen kann.

Des weiteren hast du meine Ratschläge nicht befolgt, okay, du hast nun BA ausgerechnet, hier stimmt jedoch der Eintag Zeile 1 Spalte 2 nicht, aber den Pythagoras und die Eigenschaften des additiv Inversen noch immer nicht angewendet....

02.04.2013, 13:59

herrmy

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So nächster Versuch:

AB=
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -cos^2(a)-sin^2(a) & cos(a)*sin(a)-sin(a)*cos(a)\\ sin(a)*(-cos(a))+cos(a)*sin(a) & sin^2(a)+cos^2(a)\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

BA=
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -cos^2(a)+sin^2(a) & -cos(a)*(-sin(a))+sin(a)*cos(a)\\ sin(a)*cos(a)+sin(a)*cos(a) & -sin^2(a)+cos^2(a)\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

mit Pythagoras:

AB=
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1 & cos(a)*sin(a)-sin(a)*cos(a)\\ sin(a)*(-cos(a))+cos(a)*sin(a) & 1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

BA=
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -cos^2(a)+sin^2(a) & -cos(a)*(-sin(a))+sin(a)*cos(a)\\ sin(a)*cos(a)+sin(a)*cos(a) & -sin^2(a)+cos^2(a)\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und mit den Eigenschaften des additiv Inversen:

AB=
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}-1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

BA=
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -cos^2(a)+sin^2(a) & 2*sin(a)*cos(a)\\ 2*sin(a)*cos(a) & -sin^2(a)+cos^2(a)\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

weiter komme ich jetzt nicht... hoffe es ist nicht total falsch...

danke schonmal im Voraus!

02.04.2013, 22:13

lgrizu

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Nope, ist nicht falsch, soweit in Ordnung...

Man kann allerdings auf die Einträge der Matrix BA auch noch den Pythagoras loslassen:

$\begin{eqnarray*} -\cos^2(a)+ \sin^2(a)=-2 \cos^2(a)+1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \cos^2(a)- \sin^2(a)=2 \cos^2(a)-1 \end{eqnarray*}$

Dann kann man recht gut gleich setzen.

04.04.2013, 16:06

herrmy

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Also:

AB=
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}-1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

BA=
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -2*cos^2(a)+1 & 2*sin(a)*cos(a)\\ 2*sin(a)*cos(a) & 2*cos^2(a)-1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Also sind jeweils die Werte von spalte 2, Zeile 2 gleich?

Sehe ich das richtig?

04.04.2013, 16:10

herrmy

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Irgendwie verstehe ich immer noch nicht die Frage...

Für welche Werte von a sind die Matrizenprodukte gleich?

Das sind doch jetzt jeweils die Matrizenprodukte...

04.04.2013, 20:14

lgrizu

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Genau, nun noch schauen, für welche a gilt AB=BA

04.04.2013, 22:11

herrmy

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Ich habe jetzt einfach durch probieren eingesetzt, ist ja bei den Funktionen recht einfach...
Wenn ich jetzt 0, pi, 2pi, 3pi,... in BA einsetze kommt die Matrize AB raus!
Wie gebe ich denn jetzt die Lösung richtig an?

AB=
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}-1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

BA=
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -2*cos^2(0)+1 & 2*sin(0)*cos(0)\\ 2*sin(0)*cos(0) & 2*cos^2(0)-1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

=

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}-1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ist es so korrekt?

$\begin{eqnarray*} \mathbb L=\left\{a\in \mathbb R| a=...,-\pi, 0, \pi, ... \right\} \end{eqnarray*}$

Ich hoffe ich bin jetzt durch damit... verwirrt

04.04.2013, 22:26

herrmy

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Oder so?

$\begin{eqnarray*} \mathbb L=\left\{\times \in \mathbb R |a=\frac{x*\pi^2}{\pi } \right\} \end{eqnarray*}$

Hammer

04.04.2013, 22:42

lgrizu

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Da wirst du auf jeden Fall Punktabzug für bekommen denke ich.

Warum setzt du nicht einfach gleich?

$\begin{eqnarray*} AB=BA \Rightarrow \begin{pmatrix}-1 & 0\\0 & 1\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} -2 \cos^2(a)+1 & 2 \sin(a) \cos(a) \\ 2 \sin(a) \cos(a) & 2 \cos^2(a)-1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Jetzt vergleichst du die Einträge, Eintrag erste Spalte erste Zeile liefert die Gleichung

$\begin{eqnarray*} -1=-2 \cos^2(a)+1 \Rightarrow \cos²(a)=1 \Rightarrow \cos(a)= \pm 1 \Rightarrow a= 0 \vee a= \pi \end{eqnarray*}$

Das selbe liefert dir der Eintrag Zeile 2, Spalte 2.

Ebenso ist $\begin{eqnarray*} \sin(n \pi)=0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N_0 \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von herrmy
Oder so?

$\begin{eqnarray*} \mathbb L=\left\{\times \in \mathbb R |a=\frac{x*\pi^2}{\pi } \right\} \end{eqnarray*}$

Okay, das ist ja mal völlig daneben...

Warum nicht einfach $\begin{eqnarray*} a= n \cdot \pi \forall n \in \mathbb N_0 \end{eqnarray*}$ ?

05.04.2013, 20:25

herrmy

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Super! hast mir echt geholfen, vielen Dank!!!

Gott

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