Schreibweise bei Untersuchung von Randbereichen und Schreibweise bei Integralen mit Betragszeichen

29.03.2013, 20:46

Ilrel

Schreibweise bei Untersuchung von Randbereichen und Schreibweise bei Integralen mit Betragszeichen

Meine Frage:
Hallo,

ich habe bald meine Abiturprüfung in Mathe (NRW) und habe zwei Fragen. Einmal wie die Schreibweise ist, wenn ich den Randbereich von einem x-Wert einer Funktion untersuche und die Schreibweise von Integralen mit Betragszeichen. Ich gebe zwei Beispiele:

Gegeben ist f(x) = 1/2x-6
Da gibt es also eine Definitionslücke bei x=3
Jetzt möchte ich die Randbereiche links und rechts von x=3 der Funktion untersuchen.

Ist diese Schreibweise korrekt:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 3+} f(x) \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 3-} f(x) \end{eqnarray*}$

ODER ist diese Schreibweise korrekt:

Für x>3:
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 3} f(x) \end{eqnarray*}$

Für x<3:
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 3} f(x) \end{eqnarray*}$

Meine zweite Frage:
Wenn man die Fläche zwischen zwei Graphen berechnen will muss man ja die Funktion, die über der anderen Funktion liegt als Minuend nehmen und die andere als Subtrahend. Manchmal weiß man allerdings nicht welche Funktion über der anderen liegt. Deswegen möchte ich dieses Problem mit Betragszeichen umgehen.
Ist diese Schreibweise dabei richtig?

$\begin{eqnarray*} \int_a^b \! |f(x)| \, dx =| \left[F(x)\right]_{b}^{a} | \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Ich denke, dass bei meiner ersten Frage beide Schreibweisen richtig sind, bin mir aber nicht sicher, ob die erste Schreibweise erlaubt ist.

Bei meiner zweiten Frage denke ich auch, dass es richtig ist, aber bin mir nicht 100%ig sicher.

Ich bedanke mich jetzt schonmal!

Mit freundlichen Grüßen
Ilrel

29.03.2013, 21:16

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RE: Schreibweise bei Untersuchung von Randbereichen und Schreibweise bei Integralen mit Betragszeich

Zitat:

Original von Ilrel

Gegeben ist f(x) = 1/2x-6 geschockt

<- hier fehlt eine Klammer

Da gibt es also eine Definitionslücke bei x=3

Ist diese Schreibweise korrekt: Freude

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 3+} f(x) \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 3-} f(x) \end{eqnarray*}$

Meine zweite Frage:

->

-> $\begin{eqnarray*} |\int_a^b \! [f(x)-g(x)]\, dx | \end{eqnarray*}$

31.03.2013, 00:25

Ilrel

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Ich danke dir smile

Allerdings hätte ich noch eine Frage zu folgender Gleichung, die ich im Internet gefunden habe:

$\begin{eqnarray*} A= \int_a^b \! |f(x)| \, dx =| \int_a^b \! f(x) \, dx| \end{eqnarray*}$

Laut dieser Gleichung wären ja beide Schreibweisen möglich, abeeeer:

Ich habe eine Beispielfunktion genommen, das Integral berechnet und davon den Betrag genommen UND ich habe erst den Betrag der Funktion genommen und dann das Integral und es kamen zwei verschiedene Ergebnisse raus. Also stimmt diese Gleichung doch nicht oder?! Was bedeuten denn die jeweiligen Terme?

31.03.2013, 10:39

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Zitat:

Original von Ilrel
.. gefunden habe:

$\begin{eqnarray*} A= \int_a^b \! |f(x)| \, dx =| \int_a^b \! f(x) \, dx| \end{eqnarray*}$

abeeeer:

Ich habe eine Beispielfunktion genommen,
das Integral berechnet und davon den Betrag genommen
UND ich habe erst den Betrag der Funktion genommen und dann das Integral
und es kamen zwei verschiedene Ergebnisse raus. verwirrt

->
Vorschlag:

schau mal, ob deine gewählte Beispielfunktion im Intervall (a,b)
vielleicht eine Nullstelle (mit Vorzeichenwechsel) hat ? smile

01.04.2013, 11:47

Ilrel

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Also die Funktion war x²-1 und das Intervall [-2;2]. Und ja dazwischen sind sogar zwei Nullstellen undzwar bei x=-1 und x=1... Heißt das die obere Gleichung gilt nur wenn keine Nullstellen im Intervall sind?

Können wir nicht mal ein Beispiel durchgehen? Nehmen wir mal die Funktionen
f(x) und g(x).

Ich würde dann wie folgt vorgehen:

$\begin{eqnarray*} \int_a^b \! | f(x)-g(x) |\, dx = |\left[F(x)-G(x)\right]_{b}^{a} | = |\left[H(x)\right]_{b}^{a} | \end{eqnarray*}$

Jetzt bin ich mir unsicher, es gibt zwei Möglichkeiten, welche davon ist richtig?

Entweder so:

$\begin{eqnarray*} |H(b)-H(a)| \end{eqnarray*}$

oder so:

$\begin{eqnarray*} |H(b)|-|H(a)|| \end{eqnarray*}$

Welches davon ist richtig? Und ist die Schreibweise formal richtig?

Lg

01.04.2013, 12:42

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.. gefunden habe:

$\begin{eqnarray*} A= \int_a^b \! |f(x)| \, dx =| \int_a^b \! f(x) \, dx| \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Ilrel
Also die Funktion war x²-1 und das Intervall [-2;2].
Und ja dazwischen sind sogar zwei Nullstellen undzwar bei x=-1 und x=1...

Heißt das die obere Gleichung gilt nur wenn keine Nullstellen im Intervall sind? ..JA

.. bei f(x) = x²-1 liefert das Integral in (-2, +2) die Differenz der oberhalb und unterhalb
der x-Achse liegenden Flächenteile..und |Int (f(x)dx| den Betrag dieser Differenz
und bei f(x)= | x²-1| bekommst du mit dem Integral die Summe obigerFlächenteile

also deshalb ist

$\begin{eqnarray*} \int_{-2}^2 \! |x^2-1| \, dx \neq | \int_{-2}^2 \! (x^2-1) \, dx| \end{eqnarray*}$

***************

und deshalb ist auch dein "allgemeines Beispiel" un-durchgeh-bar..
und macht keinerlei Sinn (solange man weder Grenzen noch g und f konkret kennt)
also: vergiss es so ..

Wink

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