Konvergenz von Reihen

30.03.2013, 09:30

Womanpower

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Konvergenz von Reihen

Meine Frage:
Hallo. Ich muss drei bzw. zwei Reihen auf Konvergenz untersuchen.

$\begin{eqnarray*} i) \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{n^4}{3^n} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ii) \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{(1+n^2)arctan(n)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} iii) \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n(n+3)}=\frac{11}{18} \end{eqnarray*}$

Bei iii) soll ich dies zeigen (Hinweis Vergleichskriterium)

Meine Ideen:
Nun die erste und wichtigste Frage: Welche Konvergenzkriterien kommen in Frage, da habe ich immer Probleme herauszufinden, welches am Geeignetsten ist. Das Vergleichskriterium ist was ?

DankÖ smile

smile

30.03.2013, 09:52

Iorek

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Das Vergleichskriterium heißt auch Majorantenkriterium.

Welches Kriterium man anwendet, kann man nicht immer eindeutig sagen. Das erfordert ganz einfach etwas Übung, Erfahrung und zum Teil auch ein gutes Auge. Diese drei Reihen lassen sich z.B. alle mit dem Majorantenkriterium bearbeiten, bei der ersten Reihe dürfte es aber auch das Quotientenkriterium tun.

30.03.2013, 10:12

Womanpower

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Ich bräuchte ein wenig Schützenhilfe, bei der Bearbeitung.

Das Majorantenkriterium besagt ja sei eine unendliche Reihe

$\begin{eqnarray*} S = \sum_{n=0}^\infty a_n \end{eqnarray*}$

mit reellen oder komplexen Summanden $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ gegeben. Gibt es nun eine konvergente unendliche Reihe

$\begin{eqnarray*} T = \sum_{n=0}^\infty b_n \end{eqnarray*}$

mit nichtnegativen reellen Summanden $\begin{eqnarray*} b_n \end{eqnarray*}$ und gilt für fast alle $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} |a_n| \le b_n \end{eqnarray*}$ ,

dann ist die Reihe S absolut konvergent. Man sagt, die Reihe $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ wird von $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ majorisiert oder $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ ist die Majorante von $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ .

Kehrt man diesen Schluss um, erhält man das Minorantenkriterium: Sind $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ Reihen mit nichtnegativen reellen Summanden $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} b_n \end{eqnarray*}$ , und gilt

$\begin{eqnarray*} a_n \ge b_n \end{eqnarray*}$

für fast alle n, dann folgt: Ist $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ diesmal divergent, dann ist auch $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ divergent.

Wie übertrage ich denn das auf meine Reihen.

30.03.2013, 10:15

Che Netzer

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Zitat:

Original von Iorek
Diese drei Reihen lassen sich z.B. alle mit dem Majorantenkriterium bearbeiten, bei der ersten Reihe dürfte es aber auch das Quotientenkriterium tun.

Die dritte muss aber zu einer Teleskopreihe umformen, mit dem Majorantenkriterium hat man da keinen Erfolg.

30.03.2013, 10:22

Womanpower

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Wie macht man denn z.B. jetzt bei $\begin{eqnarray*} a) \end{eqnarray*}$ den Anfang?

30.03.2013, 10:23

Iorek

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@Che Netzer, warum sollte ich damit keinen Erfolg haben? Natürlich kann man da ohne Probleme das Majorantenkriterium verwenden, um die (absolute) Konvergenz nachzuweisen.

@Womanpower, es gibt einige "Standardreihen" deren Konvergenzverhalten man kennen sollte, dazu gehört etwa die harmonische Reihe $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac 1n \end{eqnarray*}$ bzw. die verallgemeinerte harmonische Reihe $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac 1{n^\alpha} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} 0<\alpha \end{eqnarray*}$ , auch das Konvergenzverhalten geometrischer Reihen $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^\infty q^k \end{eqnarray*}$ ist wichtig zu wissen.

Bei der ersten Reihe könnte die Überlegung zielführend sein, dass $\begin{eqnarray*} n^4 \end{eqnarray*}$ langsamer wächst als $\begin{eqnarray*} 2^n \end{eqnarray*}$ ab einem gewissen $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ . Damit kann man das gegen eine geometrische Reihe abschätzen und mit dem Majorantenkriterum die Konvergenz nachweisen (hier tut es aber wie gesagt auch das Quotientenkriterium, wenn dir das lieber ist).

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30.03.2013, 10:24

Che Netzer

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@Iorek: Hier soll aber der Grenzwert berechnet werden.

30.03.2013, 10:26

Iorek

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@Che, über den Grenzwert haben wir aber noch nicht gesprochen. Bisher geht es nur um Probleme bei der Anwendung des Majorantenkriteriums.

30.03.2013, 10:34

Womanpower

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Zitat:

Original von Iorek
Bei der ersten Reihe könnte die Überlegung zielführend sein, dass $\begin{eqnarray*} n^4 \end{eqnarray*}$ langsamer wächst als $\begin{eqnarray*} 2^n \end{eqnarray*}$ ab einem gewissen $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ . Damit kann man das gegen eine geometrische Reihe abschätzen und mit dem Majorantenkriterum die Konvergenz nachweisen (hier tut es aber wie gesagt auch das Quotientenkriterium, wenn dir das lieber ist).

$\begin{eqnarray*} i) \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{n^4}{3^n} \end{eqnarray*}$

Und wie schreibt man das auf ?

30.03.2013, 10:38

Iorek

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Zuerst solltest du die von mir behauptete Ungleichung $\begin{eqnarray*} n^4<2^n \end{eqnarray*}$ ab einem bestimmten $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ beweisen. Falls es dir leichter fällt, kannst du auch die Ungleichung $\begin{eqnarray*} n^4<e^n \end{eqnarray*}$ nehmen. Dann solltest du dir das Konvergenzverhalten von geometrischen Reihen nochmal ansehen und dir auch Gedanken machen, warum $\begin{eqnarray*} 2^n \end{eqnarray*}$ bzw. e^n[/l] geeignete Abschätzungen sind.

30.03.2013, 10:41

Womanpower

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Zitat:

Original von Iorek
Zuerst solltest du die von mir behauptete Ungleichung $\begin{eqnarray*} n^4<2^n \end{eqnarray*}$ ab einem bestimmten $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ beweisen. Falls es dir leichter fällt, kannst du auch die Ungleichung $\begin{eqnarray*} n^4<e^n \end{eqnarray*}$ nehmen. Dann solltest du dir das Konvergenzverhalten von geometrischen Reihen nochmal ansehen und dir auch Gedanken machen, warum $\begin{eqnarray*} 2^n \end{eqnarray*}$ bzw. e^n[/l] geeignete Abschätzungen sind.

$\begin{eqnarray*} n^4<2^n \end{eqnarray*}$ Wieso denn $\begin{eqnarray*} 2^n \end{eqnarray*}$ ? nicht $\begin{eqnarray*} 3^n \end{eqnarray*}$ ?

Falls es mir leichter fällt naja bei $\begin{eqnarray*} n^4<e^n \end{eqnarray*}$ weiß ich auch nicht so wirklich, wie ich das angehen soll.

30.03.2013, 10:46

Iorek

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Warum $\begin{eqnarray*} 3^n \end{eqnarray*}$ keine geeignete Abschätzung ist, lässt sich am Konvergenzverhalten der geometrischen Reihe erkennen. Für welche Werte von $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ konvergiert diese?

30.03.2013, 11:03

Womanpower

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Zitat:

Original von Iorek
Warum $\begin{eqnarray*} 3^n \end{eqnarray*}$ keine geeignete Abschätzung ist, lässt sich am Konvergenzverhalten der geometrischen Reihe erkennen. Für welche Werte von $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ konvergiert diese?

Für welche Werte von $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ konvergiert diese ? Also die geometrische Reihe ? Wenn q eine reelle Zahl ungleich 1 ist. Ansonsten ist diese divergent.

30.03.2013, 11:27

Iorek

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Also ist $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty 5^n=1+5+25+125+625+\dots \end{eqnarray*}$ konvergent? geschockt

geschockt

Schlag doch bitte mal in deinen Unterlagen nach, da müsste eine Aussage über das Konvergenzverhalten der geometrischen Reihe stehen, alternativ tuts auch ein Blick in den bereits oben verlinkten Workshop.

30.03.2013, 21:58

Womanpower

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Zitat:

Original von Iorek
Also ist $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty 5^n=1+5+25+125+625+\dots \end{eqnarray*}$ konvergent?

Natürlich divergent, das springt doch einem um die Ohren.

Zitat:

Original von Iorek
Schlag doch bitte mal in deinen Unterlagen nach, da müsste eine Aussage über das Konvergenzverhalten der geometrischen Reihe stehen, alternativ tuts auch ein Blick in den bereits oben verlinkten Workshop.

Joa. Und jetzt?

30.03.2013, 22:51

Iorek

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Zitat:

Original von Womanpower
Joa. Und jetzt?

Und jetzt solltest du eigentlich wissen, für welche $\begin{eqnarray*} q\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ die geometrische Reihe $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^\infty \end{eqnarray*}$ konvergiert, immerhin hattest du mehr als 10 Stunden dafür Zeit. unglücklich

unglücklich

Also: für alle $\begin{eqnarray*} q\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} |q|<1 \end{eqnarray*}$ konvergiert $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^\infty q^n \end{eqnarray*}$ absolut. Für alle anderen $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ ist sie divergent. Damit ist sie also auch nicht für alle $\begin{eqnarray*} q\neq 1 \end{eqnarray*}$ konvergent, wie von dir behauptet. Damit solltest du auch die Begründung hinbekommen, warum eine Abschätzung gegen $\begin{eqnarray*} 2^n \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} e^n \end{eqnarray*}$ vorgeschlagen wird, damit man eine konvergente Majorante bekommt.

Damit wir uns aber nicht noch länger mit dieser Reihe aufhalten müssen noch einmal der Hinweis: bei der ersten Reihe kann man auch einfach mit dem Quotientenkriterium die Konvergenz nachweisen.

30.03.2013, 23:02

Womanpower

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Ja Quotientenkriterium. Ich verstehe aber nicht den kleinen und feinen Unterschied zwischen Konvergenz und absoluter Konvergenz.

$\begin{eqnarray*} i) \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{n^4}{3^n} \end{eqnarray*}$

Ich meine
$\begin{eqnarray*} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| \le q<1 \end{eqnarray*}$ gilt dies dann ist die reihe absolut konvergent.

Gelte hingegen für fast alle $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| \ge 1 \end{eqnarray*}$
so ist die Reihe divergent.

Im Fall der Konvergenz muss $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ unabhängig und echt kleiner als 1 sein.

Nur wie wende ich jetzt das Quotientenkriterium bei $\begin{eqnarray*} i) \end{eqnarray*}$ an.

30.03.2013, 23:07

Iorek

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Beim Quotientenkriterium musst du eigentlich nur $\begin{eqnarray*} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| \end{eqnarray*}$ bilden und im Idealfall den Grenzwert bestimmen.

Für den Unterschied zwischen Konvergenz und absoluter Konvergenz solltest du dir die entsprechenden Definitionen nochmal ansehen.

30.03.2013, 23:20

Womanpower

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Zitat:

Original von Iorek
Beim Quotientenkriterium musst du eigentlich nur $\begin{eqnarray*} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| \end{eqnarray*}$ bilden und im Idealfall den Grenzwert bestimmen.

Dann können wir es doch jetzt im Idealfall tun. Setze ich dann mein $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ einfach dort ein?

$\begin{eqnarray*} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{\frac{1}{3^{n+1}}}{\frac{1}{3^n}}=\frac{3^n}{3^{n+1}}=\frac{1}{3} \end{eqnarray*}$

So viel meinerseits?

30.03.2013, 23:38

Mulder

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Zitat:

Original von Womanpower
Dann können wir es doch jetzt im Idealfall tun. Setze ich dann mein $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ einfach dort ein?

$\begin{eqnarray*} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{\frac{1}{3^{n+1}}}{\frac{1}{3^n}}=\frac{3^n}{3^{n+1}}=\frac{1}{3} \end{eqnarray*}$

Was ist denn mit dem $\begin{eqnarray*} n^4 \end{eqnarray*}$ passiert? Das musst du doch auch noch einsetzen.

Und kurz zur absoluten Konvergenz: Eine Reihe

$\begin{eqnarray*} \sum a_n \end{eqnarray*}$

heißt absolut konvergent, wenn auch

$\begin{eqnarray*} \sum |a_n| \end{eqnarray*}$

konvergent ist. Also wir nehmen uns die Folgenglieder, die wir aufsummieren wollen, und bilden bei jedem Folgenglied erst einmal den Betrag. In unserem Beispiel

$\begin{eqnarray*} \sum \frac{n^4}{3^n} \end{eqnarray*}$

sind sowieso schon von Anfang an alle Folgenglieder positiv, hier ist also Konvergenz gleichbedeutend mit absoluter Konvergenz. Hier besteht zwischen diesen beiden Begriffen also kein Unterschied in dem Sinne. Aber das ist ja nicht bei jeder Folge so.

Edit: Wenn du doch noch da bist, mach ggf. ruhig weiter, Iorek. Dachte, du wärst weg. Augenzwinkern

Augenzwinkern

30.03.2013, 23:46

Womanpower

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$\begin{eqnarray*} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{\frac{(n+1)^4}{3^{n+1}}}{\frac{n^4}{3^n}}=\frac{(n+1)^4 3^n}{3^{n+1}n^4}=\frac{(n+1)^4 }{3n^4} \end{eqnarray*}$

Hmm? Mehr geht nicht ?

Und danke, der Unterschied zwischen absoluter Konvergenz und Konvergenz ist mir klarer geworden.

30.03.2013, 23:58

Iorek

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Wenn du dich mit der Konvergenz von Reihen beschäftigst, solltest du das noch vereinfachen und den Grenzwert für $\begin{eqnarray*} n\to\infty \end{eqnarray*}$ berechnen können.

31.03.2013, 00:14

Womanpower

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Wenn ich es könnte, dann würde ich es machen. Momentan scheitert es an der Vereinfachung. Ich nehme an ich muss die Binomische Formel auflösen und dann könne sich etwas vereinfachen. Leider hackt's daran diese auszurechnen. Ich komme auf

$\begin{eqnarray*} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{\frac{(n+1)^4}{3^{n+1}}}{\frac{n^4}{3^n}}=\frac{(n+1)^4 3^n}{3^{n+1}n^4}=\frac{(n+1)^4 }{3n^4}=\frac{n^4+4n^3+5n^2+4n+1}{3n^4} \end{eqnarray*}$

aber ob das stimmt ?

31.03.2013, 00:22

Iorek

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Nein, das ist so nicht richtig. Und es ist auch nicht nötig. Klammere stattdessen lieber die höchste Potenz von $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ aus.

31.03.2013, 00:29

Womanpower

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$\begin{eqnarray*} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{\frac{(n+1)^4}{3^{n+1}}}{\frac{n^4}{3^n}}=\frac{(n+1)^4 3^n}{3^{n+1}n^4}=\frac{(n+1)^4 }{3n^4}=(\frac{(n+1)}{3n})^4=(\frac{1}{3}+\frac{1}{3n})^4 \end{eqnarray*}$

Oh meno so?

31.03.2013, 00:44

Iorek

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Du hast doch im Nenner nur $\begin{eqnarray*} 3 \end{eqnarray*}$ stehen und nicht $\begin{eqnarray*} 3^4 \end{eqnarray*}$ . geschockt

geschockt

Es handelt sich hier um eine simple Folge, deren Grenzwert bestimmt werden soll. Wenn du dich mit Fragen zur Reihenkonvergenz beschäftigst, muss das eigentlich sitzen!

$\begin{eqnarray*} \frac{(n+1)^4}{3n^4}=\frac{(n(1+\frac 1n))^4}{3n^4}=\frac {n^4(1+\frac 1n)^4}{3n^4} \end{eqnarray*}$

31.03.2013, 00:56

Womanpower

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Zitat:

Original von Iorek
Du hast doch im Nenner nur $\begin{eqnarray*} 3 \end{eqnarray*}$ stehen und nicht $\begin{eqnarray*} 3^4 \end{eqnarray*}$ . geschockt

geschockt

Es handelt sich hier um eine simple Folge, deren Grenzwert bestimmt werden soll. Wenn du dich mit Fragen zur Reihenkonvergenz beschäftigst, muss das eigentlich sitzen!

$\begin{eqnarray*} \frac{(n+1)^4}{3n^4}=\frac{(n(1+\frac 1n))^4}{3n^4}=\frac {n^4(1+\frac 1n)^4}{3n^4} \end{eqnarray*}$

Die $\begin{eqnarray*} \frac13 \end{eqnarray*}$ hätte ich ja davor ziehen können, daher der Fehler.

$\begin{eqnarray*} \frac13 \frac{(n+1)^4}{n^4}=\frac13 (\frac{(n+1)}{n})^4=\frac13 (1+\frac{1}{n})^4 \end{eqnarray*}$

Aber deins ist schon praktischer i.wie

$\begin{eqnarray*} \frac {n^4(1+\frac 1n)^4}{3n^4}=\frac {(1+\frac 1n)^4}{3} \end{eqnarray*}$

Und der Grenzwert ist $\begin{eqnarray*} \frac 13 \end{eqnarray*}$ ?

31.03.2013, 00:57

Iorek

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Ja, der Grenzwert davon wäre $\begin{eqnarray*} \frac 13 \end{eqnarray*}$ . Damit kannst du nun etwas über das Konvergenzverhalten der Reihe sagen.

31.03.2013, 01:01

Womanpower

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Die Reihe $\begin{eqnarray*} i) \end{eqnarray*}$ konvergiert.

31.03.2013, 01:03

Iorek

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Genauer wäre es zu sagen, sie konvergiert absolut (das macht hier keinen Unterschied, da sämtliche Summanden schon positiv sind, sollte aber nicht unerwähnt bleiben). Damit ist die (absolute) Konvergenz der Reihe nachgewiesen.

31.03.2013, 01:08

Womanpower

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$\begin{eqnarray*} ii) \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{(1+n^2)arctan(n)} \end{eqnarray*}$

Wieder Quotientenkriterium ?

$\begin{eqnarray*} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{\frac{1}{(1+(n+1)^2)arctan(n+1)}}{\frac{1}{(1+n^2)arctan(n)}} \end{eqnarray*}$

Usw. ?

31.03.2013, 10:19

Iorek

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Wenn du das auflöst, den Grenzwert berechnet und dieser eine Aussage ermöglicht, dann wäre das eine Möglichkeit, dem wird aber nicht so sein. Hier solltest du das Majorantenkriterium anwenden und daran denken, das der $\begin{eqnarray*} \arctan \end{eqnarray*}$ eine monoton steigende, beschränkte Funktion ist.

31.03.2013, 21:24

Womanpower

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Zitat:

Original von Iorek
Hier solltest du das Majorantenkriterium anwenden und daran denken, das der $\begin{eqnarray*} \arctan \end{eqnarray*}$ eine monoton steigende, beschränkte Funktion ist.

Das Majorantenkriterium besagt, dass

eine unendliche Reihe

$\begin{eqnarray*} S = \sum_{n=0}^\infty a_n \end{eqnarray*}$
mit reellen oder komplexen Summanden $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ gegeben. Gibt es nun eine konvergente unendliche Reihe

$\begin{eqnarray*} T = \sum_{n=0}^\infty b_n \end{eqnarray*}$
mit nichtnegativen reellen Summanden $\begin{eqnarray*} b_n \end{eqnarray*}$ und gilt für fast alle $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} |a_n| \le b_n, \end{eqnarray*}$

dann ist die Reihe $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ absolut konvergent. Man sagt, die Reihe $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ wird von $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ majorisiert oder $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ ist die Majorante von $\begin{eqnarray*} S. \end{eqnarray*}$
Kehrt man diesen Schluss um, erhält man das Minorantenkriterium: Sind $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ Reihen mit nichtnegativen reellen Summanden $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} b_n \end{eqnarray*}$ , und gilt

$\begin{eqnarray*} a_n \ge b_n \end{eqnarray*}$

für fast alle $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ , dann folgt: Ist $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ diesmal divergent, dann ist auch $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ divergent.

Nun das Problem wenn man es selber anwenden soll, dann happert's. Wie mache ich das mit dem Majorantenkriterium ? Bei dem Quotientenkriterium konnte man es einfach einsetzen in die Formel und umformen. Hier wüsste ich jetzt nicht wie bzw. was ich wo einsetzen könnte.

31.03.2013, 23:05

Iorek

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Für das Majorantenkriterium ist ein Mindestmaß an Wissen über konvergente Reihen notwendig, man muss einige konvergente Reihen kennen. Geometrische Reihen sowie die verallgemeinerte harmonische Reihe $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac 1{n^\alpha} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} 0<\alpha \end{eqnarray*}$ sind mindestens notwendig. Was kannst du über deren Konvergenzverhalten sagen?

31.03.2013, 23:10

Womanpower

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Die harmonische Reihe konvergiert gegen unendlich.

31.03.2013, 23:13

Iorek

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Die harmonische Reihe $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac 1n \end{eqnarray*}$ divergiert, nicht konvergiert. Aber wie sieht es z.B. mit $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac 1{\sqrt n} \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac 1{n^2} \end{eqnarray*}$ aus? Dazu solltet ihr eigentlich auch mal eine Aussage zu aufgeschrieben haben.

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