Konvergenzradius reloaded - Seite 2

31.03.2013, 03:05

Konvergenzniete

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RE: Konvergenzradius reloaded

Also müssten wir noch den "anderen" Grenzwert ausrechnen ? Sprich das
$\begin{eqnarray*} \lim_{n\rightarrow\infty}\frac1{3\sqrt2} \end{eqnarray*}$

Das geht doch gegen Null ? Also insgesamt alles gegen Null ?

Ich verabschiede mich vorerst gute Nacht. Recht herzlichen Dank, ich hoffe im Laufe des Tages können wir die Aufgabe zu Ende bringen. Tätest mir einen riesen Gefallen.

PS: Wir haben schon 3:05 (Uhren umgestellt...)

31.03.2013, 03:07

Che Netzer

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RE: Konvergenzradius reloaded

Zitat:

Original von Konvergenzniete
$\begin{eqnarray*} \lim_{n\rightarrow\infty}\frac1{3\sqrt2} \end{eqnarray*}$

Das geht doch gegen Null ? Also insgesamt alles gegen Null ?

Denk darüber nochmal nach, wenn du ausgeschlafen hast unglücklich

unglücklich

31.03.2013, 21:29

Konvergenzniete

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RE: Konvergenzradius reloaded

Zitat:

Original von Che Netzer

Zitat:

Original von Konvergenzniete
$\begin{eqnarray*} \lim_{n\rightarrow\infty}\frac1{3\sqrt2} \end{eqnarray*}$

Das geht doch gegen Null ? Also insgesamt alles gegen Null ?

Denk darüber nochmal nach, wenn du ausgeschlafen hast unglücklich

unglücklich

Das ist murx was ich geschrieben habe, die Variable $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ taucht ja gar nicht auf, also ist es von n unabhängig somit ist der Grenzwert doch $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3\sqrt2} \end{eqnarray*}$

31.03.2013, 21:32

Che Netzer

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RE: Konvergenzradius reloaded
Freude

Freude

Und damit hast du jetzt den Konvergenzradius ausgrechnet.
Natürlich müsstest du das alles nochmal sauber aufschreiben, aber das Ergebnis siehst du jetzt hoffentlich.

31.03.2013, 21:44

Konvergenzniete

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RE: Konvergenzradius reloaded
Das mit dem sauber aufschreiben ist eine Sache. Das Ergebnis habe ich ja genannt. Aber die Grenzwerte habe ich ja eigentlich beide einzeln berechnet und wie ich das jetzt sauber aufschreiben soll wüsste ich gerne.

31.03.2013, 21:52

Che Netzer

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RE: Konvergenzradius reloaded
Für den letzten Teil:
$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}\frac1{3\sqrt2}\sqrt{\frac{3n-2}{3n+1}}=\frac1{3\sqrt2}\sqrt{\lim_{n\to\infty}\frac{3n-2}{3n+1}}=\frac1{3\sqrt2}\,. \end{eqnarray*}$
Füge ggf. noch Zwischenschritte ein, wenn du das Gefühl hast, insbesondere das letzte Gleichheitszeichen sei ungenügend erläutert.

Das kommt darauf an, was ihr bisher alles getan habt.
Wenn ihr solche Grenzwerte eigentlich mit Leichtigkeit berechnen können solltet (so sollte es eigentlich sein), brauchst du keinen weiteren Zwischenschritt. Wenn ihr aber tatsächlich kaum Übung darin hat, füge noch ein paar Schritte ein.

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31.03.2013, 22:04

Konvergenzniete

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RE: Konvergenzradius reloaded
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty 3^n \sqrt{(3n-2)2^n}z^n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \left| \frac{a_n}{a_{n+1}} \right| = \frac{3^n \sqrt{(3n-2)2^n}}{3^{n+1} \sqrt{(3(n+1)-2)2^{n+1}}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}\frac1{3\sqrt2}\sqrt{\frac{3n-2}{3n+1}}=\frac1{3\sqrt2}\sqrt{\lim_{n\to\infty}\frac{3n-2}{3n+1}}=\frac1{3\sqrt2}\,. \end{eqnarray*}$

Aber ansonsten reicht es aus? Noch eine allgeimeine Frage zum Abschluss zur Berechnung des Konvergenzradiuses. Das macht man doch immer mit
$\begin{eqnarray*} r=\lim_{n\rightarrow\infty} \bigg| \frac{a_{n}}{a_{n+1}} \bigg| \end{eqnarray*}$ oder ?

Und was ist dann dieses
$\begin{eqnarray*} r=\frac{1}{\limsup\limits_{n\rightarrow\infty}\left(\sqrt[n]{|a_n|}\right)}. \end{eqnarray*}$

Und was hat es mit diesen 4 unterschiedlichen Fällen auf sich? Wir haben ja den Grenzwert berechnet und dieser ist ja so definiert das er den Konvergenzradius ergibt. Die verschiedenen Fälle gelten für was genau?

31.03.2013, 22:14

Che Netzer

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RE: Konvergenzradius reloaded

Zitat:

Original von Konvergenzniete
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty 3^n \sqrt{(3n-2)2^n}z^n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \left| \frac{a_n}{a_{n+1}} \right| = \frac{3^n \sqrt{(3n-2)2^n}}{3^{n+1} \sqrt{(3(n+1)-2)2^{n+1}}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}\frac1{3\sqrt2}\sqrt{\frac{3n-2}{3n+1}}=\frac1{3\sqrt2}\sqrt{\lim_{n\to\infty}\frac{3n-2}{3n+1}}=\frac1{3\sqrt2}\,. \end{eqnarray*}$

Aber ansonsten reicht es aus?

Eigentlich steht alles da.
Es könnten höchstens ein paar Zwischenschritte hinzugefügt werden und ein Text drumherum ist auch immer schön.
Beides kann hier verdeutlichen, warum du diese Rechnung überhaupt anstellst und was nun das Ergebnis ist.
Ansonsten sind das nur ein paar zusammenhanglos hingeschriebene Formeln.

Zitat:

Noch eine allgeimeine Frage zum Abschluss zur Berechnung des Konvergenzradiuses. Das macht man doch immer mit
$\begin{eqnarray*} r=\lim_{n\rightarrow\infty} \bigg| \frac{a_{n}}{a_{n+1}} \bigg| \end{eqnarray*}$ oder ?

Wenn dieser Grenzwert existiert, ist es der Konvergenzradius.

Zitat:

Und was ist dann dieses
$\begin{eqnarray*} r=\frac{1}{\limsup\limits_{n\rightarrow\infty}\left(\sqrt[n]{|a_n|}\right)}. \end{eqnarray*}$

Das hingegen stimmt immer.

Zitat:

Und was hat es mit diesen 4 unterschiedlichen Fällen auf sich? Wir haben ja den Grenzwert berechnet und dieser ist ja so definiert das er den Konvergenzradius ergibt. Die verschiedenen Fälle gelten für was genau?

Was genau ist da deine Frage?
Wann die Fälle eintreten, ist angegeben; was dann folgt ebenso.

31.03.2013, 22:20

Konvergenzniete

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RE: Konvergenzradius reloaded

Zitat:

Original von Che Netzer

Zitat:

Original von Konvergenzniete
[quote]Noch eine allgeimeine Frage zum Abschluss zur Berechnung des Konvergenzradiuses. Das macht man doch immer mit
$\begin{eqnarray*} r=\lim_{n\rightarrow\infty} \bigg| \frac{a_{n}}{a_{n+1}} \bigg| \end{eqnarray*}$ oder ?

Wenn dieser Grenzwert existiert, ist es der Konvergenzradius.

Zitat:

Und was ist dann dieses
$\begin{eqnarray*} r=\frac{1}{\limsup\limits_{n\rightarrow\infty}\left(\sqrt[n]{|a_n|}\right)}. \end{eqnarray*}$

Das hingegen stimmt immer.

Wie sehe ich denn ob der Grenzwert existiert, sodass ich diese Formel benutzen kann?
$\begin{eqnarray*} r=\lim_{n\rightarrow\infty} \bigg| \frac{a_{n}}{a_{n+1}} \bigg| \end{eqnarray*}$

Diese Formel geht immer? $\begin{eqnarray*} r=\frac{1}{\limsup\limits_{n\rightarrow\infty}\left(\sqrt[n]{|a_n|}\right)}. \end{eqnarray*}$ Ist sie denn schwieriger, wieso haben wir den bei unserem Aufgabenbeispiel die erstere benutzt? Aber auf das gleiche Ergebnis müsste man ja logischerweise kommen?

31.03.2013, 22:24

Che Netzer

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RE: Konvergenzradius reloaded

Zitat:

Original von Konvergenzniete
Wie sehe ich denn ob der Grenzwert existiert, sodass ich diese Formel benutzen kann?
$\begin{eqnarray*} r=\lim_{n\rightarrow\infty} \bigg| \frac{a_{n}}{a_{n+1}} \bigg| \end{eqnarray*}$

Beim Versuch, den Grenzwert zu bilden.

Zitat:

Diese Formel geht immer? $\begin{eqnarray*} r=\frac{1}{\limsup\limits_{n\rightarrow\infty}\left(\sqrt[n]{|a_n|}\right)}. \end{eqnarray*}$ Ist sie denn schwieriger, wieso haben wir den bei unserem Aufgabenbeispiel die erstere benutzt?

Sie muss nicht zwingend schwieriger anzuwenden sein, das hängt von der Reihe ab.
Und die erste haben wir benutzt, weil du das unter "Meine Ideen" angegeben hast.
Wenn $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]n\to1 \end{eqnarray*}$ bekannt ist, hätten wir auch bequem die mit der Wurzel verwenden können.

Zitat:

Aber auf das gleiche Ergebnis müsste man ja logischerweise kommen?

Ja, wenn der Grenzwert von $\begin{eqnarray*} \left\lvert\frac{a_n}{a_{n+1}}\right\rvert \end{eqnarray*}$ existiert, dann stimmt er mit $\begin{eqnarray*} \frac1{\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\lvert a_n\rvert}} \end{eqnarray*}$ überein (wobei dieser Grenzwert dann auch existiert, nicht nur als Limes superior).

31.03.2013, 22:31

Konvergenzniete

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RE: Konvergenzradius reloaded
D.h. wenn der Grenzwert nicht existieren würde, dann müssten wir die letztere Formel benutzen mit dem Limes Superior?

31.03.2013, 22:33

Che Netzer

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RE: Konvergenzradius reloaded
Ja, die würde dann trotzdem noch funktionieren (es kann aber natürlich sein, dass der Limes superior dann schwierig zu berechnen ist).

31.03.2013, 22:37

Konvergenzniete

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RE: Konvergenzradius reloaded
Das wäre aber die letzte Möglichkeit den Konvergenzradius zu berechnen?

31.03.2013, 22:44

Che Netzer

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RE: Konvergenzradius reloaded
Man könnte auch etwas unorthodoxere Wege gehen.
Manchmal kann man durch Anwenden des üblichen Quotienten-/Wurzelkriteriums tatsächlich noch etwas erreichen (ich glaube, ich hatte da mal ein Beispiel) oder man findet einen Wert, für den die Reihe konvergiert und zeigt, dass sie dies für größere nicht tut.

31.03.2013, 23:07

Konvergenzniete

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RE: Konvergenzradius reloaded
Ok. Super vielen Dank, ich gehe das morgen nochmal durch ggf. frage ich nochmal was nach und verbleibe jetzt

mit freundlichen Grüßen Konvergenzhalbniete Augenzwinkern

Augenzwinkern

31.03.2013, 23:10

Che Netzer

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RE: Konvergenzradius reloaded
Mir ist übrigens das erwähnte Beispie wieder eingefallen:
$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty n!x^{n^2}\,. \end{eqnarray*}$
Ich finde, die Reihe ist mit dem ganz normalen Quotientenkriterium am einfachsten zu behandeln.

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