Majorisierte Konvergenz

30.03.2013, 15:08

Kiwiatmb

Majorisierte Konvergenz

Folgende Aufgabe: $\begin{eqnarray*} \text{Sei }f\in L^1(\mathbb{R}^n)\text{. Zeigen Sie }\lim_{k\to\infty}\int_{B_{\frac{1}{k}}(0)}f dx=0 \end{eqnarray*}$ .

Nun bitte ich euch, meinen bisherigen Lösungsversuch mal anzusehen.

Verwende für die majorisierte Konvergenz $\begin{eqnarray*} g:=|f|,~ f_k:=f\cdot\chi_{B_{\frac{1}{k}}(0)} \end{eqnarray*}$ .
Überprüfung der Voraussetzungen:

$\begin{eqnarray*} \bullet ~ f, f_k \text{ messbar } \color{green}\checkmark \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (f\text{ nach Voraussetzung und } f_k \text{ als Produkt messbarer Funktionen. } ) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \bullet ~ g\in L^1(\mathbb{R}^n)~ \color{green}\checkmark \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (f\in L^1(\mathbb{R}^n)\Rightarrow |f|\in L^1(\mathbb{R}^n) \Leftrightarrow g\in L^1(\mathbb{R}^n).) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \bullet ~ f=\lim_{k\to\infty}f_k \text{ fast überall } \end{eqnarray*}$ ?
$\begin{eqnarray*} (\lim_{k\to\infty}f_k=\lim_{k\to\infty}f\cdot\chi_{B_{\frac{1}{k}}(0)}=f\cdot\lim_{k\to\infty}\chi_{B_{\frac{1}{k}}(0)}=\dots=f) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \bullet |f_k|\leq g \text{ } \text{fastüberall } \color{green}\checkmark \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (\Leftrightarrow |f\cdot\chi_{B_{\frac{1}{k}}(0)}|\leq |f|) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \lim_{k\to\infty}\int_{B_{\frac{1}{k}}(0)}f ~dx = \lim_{k\to\infty}\int_{\mathbb{R}^n}f_k ~dx\overset{\text{maj. Konvergenz }}{=}\int_{\mathbb{R}^n}\lim_{k\to\infty}f_k ~dx\overset{{\color{red} ?}}{=} \int_{\mathbb{R}^n}0 ~dx=0 \end{eqnarray*}$

Was mich ein wenig verwirrt, ist die Tatsache, dass in der "Musterlösung" gezeigt wird, dass $\begin{eqnarray*} \lim_{k\to\infty}f_k=0 \end{eqnarray*}$ (für $\begin{eqnarray*} x\neq 0 \end{eqnarray*}$ ) gilt. Denn mit der 3. Voraussetzung müsste dann ja f fast überall 0 sein?

Ich hoffe, ihr könnt mir hier ein wenig helfen. smile

Danke schon mal!

30.03.2013, 15:12

Che Netzer

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RE: Majorisierte Konvergenz
Du möchtest doch gar nicht, dass $\begin{eqnarray*} f_k \end{eqnarray*}$ gegen $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ geht, sondern gegen Null.
Sonst würdest du auf $\begin{eqnarray*} \int f\dx\neq0=\int0\dx \end{eqnarray*}$ kommen.

30.03.2013, 15:27

Kiwiatmb

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Naja, aber damit ich majorisierte Konvergenz anwenden kann, muss ja

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \bullet ~ f=\lim_{k\to\infty}f_k \text{ fast überall } \end{eqnarray*}$

gelten...
Deswegen muss es ja dann doch irgendwie wieder $\begin{eqnarray*} f_k\to f \end{eqnarray*}$ ?

30.03.2013, 15:30

Che Netzer

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Nein, $\begin{eqnarray*} f_k \end{eqnarray*}$ muss nur fast überall gegen irgendeine Grenzfunktion konvergieren.
Dass das $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ sein muss, ist nicht verlangt.

30.03.2013, 15:58

Kiwiatmb

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Aha!

Das heißt, wenn ich mal die Bezeichnungen von Wikipedia verwende, ist das f aus dem Satz bei mir eher eine Art h(x)=0?

Ich korrigiere mal meinen Startpost:

Zitat:

Verwende für die majorisierte Konvergenz $\begin{eqnarray*} g:=|f|,~ f_k:=f\cdot\chi_{B_{\frac{1}{k}}(0)}, {\color{red}h(x):=0 ~\forall x} \end{eqnarray*}$ .

Überprüfung der Voraussetzungen:

$\begin{eqnarray*} \bullet ~ {\color{red}h}, f_k \text{ messbar } \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} ({\color{red}h\text{ offensichtlich und }} f_k \text{ als Produkt messbarer Funktionen. } ) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \bullet ~ g\in L^1(\mathbb{R}^n)~ \color{green}\checkmark \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (f\in L^1(\mathbb{R}^n)\Rightarrow |f|\in L^1(\mathbb{R}^n) \Leftrightarrow g\in L^1(\mathbb{R}^n).) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \bullet ~ {\color{red}h}=\lim_{k\to\infty}f_k \text{ fast überall } \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (\lim_{k\to\infty}f_k=\lim_{k\to\infty}f\cdot\chi_{B_{\frac{1}{k}}(0)}=f\cdot\lim_{k\to\infty}\chi_{B_{\frac{1}{k}}(0)}={\color{red}f\cdot\chi_{\{0\}}\overset{x\neq 0}=f\cdot 0=0}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \bullet |f_k|\leq g \text{ } \text{fastüberall } \color{green}\checkmark \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (\Leftrightarrow |f\cdot\chi_{B_{\frac{1}{k}}(0)}|\leq |f|) \end{eqnarray*}$

Passt auch der Beweis vom 3. Punkt? Ich habe zwar einen etwas anderen Beweis aus der Musterlösung, aber würde meiner auch gehen?

Vielen, vielen Dank! Freude

30.03.2013, 16:02

Che Netzer

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Ja, hier hat wohl verwirrt, dass die Bezeichnung $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ schon vergeben war.
Jetzt passt alles.
Der Beweis zum dritten Punkt würde mir auch reichen, es ist nur die Frage, ob du $\begin{eqnarray*} \lim\chi_{B_{\frac1k}(0)}=\chi_{\{0\}} \end{eqnarray*}$ verwenden darfst.
Und dass ein $\begin{eqnarray*} (x) \end{eqnarray*}$ fehlt, könnte einen auch stören.

30.03.2013, 16:32

Kiwiatmb

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Gut, damit ist alles geklärt. Dankeschön! smile

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