Bernoulli/Cebysev unverständlich

30.03.2013, 19:47	eintopf	Auf diesen Beitrag antworten »
Bernoulli/Cebysev unverständlich Moin moin, ich habe eine Aufgabe, bei der ich ab Teil b) nicht weiterkomme. Könnt ihr mir vllt irgendwelche Stichwörter nennen, bei denen ich dann weiterarbeiten kann?
30.03.2013, 21:26	Sendoh	Auf diesen Beitrag antworten »
Sei S_n eine Zufallsvariable, die die absolute Häufigkeit von Zahl bei n Münzwürfen angibt. Dann ist S_n binomialverteilt. Gesucht ist n, sodass $\begin{eqnarray} P\left(\Big\vert\frac{1}{n}S_n-0,5\Big\vert\leq 0,1\right)\geq 0,99 \end{eqnarray}$ . Nutze den zentralen Grenzwertsatz.
07.04.2013, 13:59	Sendoh	Auf diesen Beitrag antworten »
Da der Fragesteller keinerlei Interesse mehr an der Aufgabe zeigt (und ich meinen Notizzettel endlich in den Mülleimer werfen will), löse ich die Aufgabe in groben Schritten für alle Mitlesenden: Es folgt mit obigen Ansatz nach Umformen: $\begin{eqnarray} P\left( \frac{-0,1n}{\frac{1}{2}\sqrt{n}}\leq \frac{S_n -0,5n}{ \frac{1}{2}\sqrt{n}}\leq \frac{0,1n}{\frac{1}{2}\sqrt{n}}\right) \geq 0,99 \end{eqnarray}$ Der zentrale Grenzwertsatz liefert nun (mit Stetigkeitskorrektur): $\begin{eqnarray} \Phi \left(\frac{0,1n+\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}\sqrt{n}}\right) -\Phi \left(\frac{-0,1n-\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}\sqrt{n}}\right) \geq 0,99 \end{eqnarray}$ Ausserdem gilt für die Phi-Funktion: $\begin{eqnarray} \Phi(-z)=1-\Phi(z) \end{eqnarray}$ . Also: $\begin{eqnarray} \Phi \left(\frac{0,1n+\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}\sqrt{n}}\right)\geq 0,995\approx \Phi \left( 2,58\right) \end{eqnarray}$ Das heißt: $\begin{eqnarray} \frac{0,1n+\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}\sqrt{n}}\geq 2,58 \end{eqnarray}$ Auflösen dieser Ungleichung und "sicheres" Runden ergibt $\begin{eqnarray} n=157 \end{eqnarray}$ .

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