Pyramide

30.03.2013, 22:53

rechner

Pyramide

Meine Frage:
Hallo smile

An einem Berghang befindet sich eine Touristenattraktion in Form einer Pyramide mit rechteckiger Grundfläche ABCD. Die Punkte A(4/0/0), B(0/0/0) und C(0/-4/1,5) sind die Ecken der Pyramidengrundfläche.

Bestimme die Steigung des Berghanges mit Hilfe der Winkelberechnung.

--> es muss 20,6° raus kommen, WO LIEGT MEIN FEHLER?

Meine Ideen:
1. Die Ebenengleichung aufstellen:

$\begin{eqnarray*} E_{ABC}=\begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+r\begin{pmatrix} -4 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+s\begin{pmatrix} -4 \\ -4 \\ 1,5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

2. Dann den Normalenvektor, um später den Winkel berechnen zu können:

$\begin{eqnarray*} \vec{n}=\begin{pmatrix} 0 \\ 6 \\ 16 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ich hab mir dann irgendeinen Punkt ausgedacht, der in der xy-Ebene liegt:

$\begin{eqnarray*} P\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

3. Eine Geradengleichung aufstellen:

$\begin{eqnarray*} g:\vec{x} =\begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+t\begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

4. Und als letztes dann, den Schnittwinkel zwischen der Geraden und der Ebene berechnen:

$\begin{eqnarray*} \alpha =sin^{-1}\left[\frac{12}{2\sqrt{73}\cdot 2\sqrt{2} } \right] =14,3759° \end{eqnarray*}$

30.03.2013, 23:22

opi

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Du hast bei Deiner Rechnung den Winkel zwischen der Ebene, in welcher die Grundfläche der Pyramide liegt, mit einer nahezu beliebigen Geraden berechnet. Das nützt nichts.
Bestimme den Winkel zwischen zwei Ebenen. Wie lautet denn der Normalenvektor der xy-Ebene?

31.03.2013, 10:11

rechner

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Zitat:

Du hast bei Deiner Rechnung den Winkel zwischen der Ebene, in welcher die Grundfläche der Pyramide liegt, mit einer nahezu beliebigen Geraden berechnet. Das nützt nichts.

Nein, nicht ganz so beliebig. Ich wollte den Winkel zwischen der Ebene und einer Geraden in der xy Ebene, die zur x2 Achse parallel ist bestimmen. Ich habe im Anhang auch eine Skizze dazu. Ich verstehe trotzdem nicht, warum das nicht klappen sollte verwirrt

Zitat:

Bestimme den Winkel zwischen zwei Ebenen. Wie lautet denn der Normalenvektor der xy-Ebene?

ganz allgemein würde ich sagen:

$\begin{eqnarray*} \vec{n}= \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ z \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wenn ich z.B. den normalenvektor für die xy-Ebene nehme : $\begin{eqnarray*} \vec{n}= \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 6 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Dann bekomme ich für den Winek 20,56° raus also das richtige Ergebnis. Aber in der Klausur hätte ich das mit der Gerade gemacht, und ich weiß nicht, warum dann das Ergebnis nicht stimmt. unglücklich

ps:der anhang kommt später, die Datei ist zu groß

[attach]29337[/attach]

Edit opi: Der Anhang kam auch später, ich habe die pdf.- aber durch eine jpg.-Datei ersetzt, damit man das Bild direkt sehen kann. Auch wenn heute Ostern ist. Augenzwinkern

31.03.2013, 14:59

opi

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Deine Gerade verläuft nicht parallel zur x2-Achse, Du veränderst ja auch die x-Werte.

$\begin{eqnarray*} g:\vec{x} =\begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+t\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Damit sollte es klappen. Ich empfehle aber, solche Winkel mit Hilfe zweier Ebenen zu bestimmen. Du mußt Dir sonst über die Lage der Ebene und die Lage der Geraden im Raum sehr genau Gedanken machen: Fehlerquelle. Teufel

Edit: Die Gerade in Deiner Zeichnung entspricht nicht der aus dem Eingangspost.

31.03.2013, 16:10

rechner

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Also wenn ich z.B. eine Gerade aufstellen möchte, die parallel zur x1 achse ist, dann ist der Richtungsvektor [z;0,0], wenn sie parallel zur x3 Achse sein soll, dann lautet sie: [0;0;z].

Ok, den Teil der Aufgabe habe ich verstanden smile

Dann kommen noch 2 weitere Aufgabenteile:

c) Die Spitze S der Pyramide liegt genau 3,5m über dem Mittelpunkt der Grundkante CD. Gib die Koordinaten des Punktes S an.

d) Um die schöne aussicht ins Tal zu genießen, soll die Seitenfläche ABS der Pyramide verglast werden. Berechne die Fläche.

Zu d:

$\begin{eqnarray*} A\begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} , B\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} , S\begin{pmatrix} 2 \\ -4 \\ 5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} | \vec{AS} |=2\sqrt{5} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} | \vec{AB} |=4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} | \vec{BS} |=3\sqrt{5} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} U=2\sqrt{5}+ 4+ 3\sqrt{5} =5\sqrt{5}+4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} s=\frac{5\sqrt{5}+4}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} =\frac{\sqrt{1199} }{4} \end{eqnarray*}$

aber die Lösung ist angeblich falsch, da muss 12,8 rauskommen, wo liegt jetzt mein Fehler? verwirrt

Zu c)

$\begin{eqnarray*} <br /> D\begin{pmatrix} 4 \\ -4 \\ 1,5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} M_{CD}=\begin{pmatrix} 2 \\ -4 \\ 1,5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Da der Punkt S genau 3,5 m über dem Mittelpunkt der Kante CD liegt, erhöht man die x3 Koordinate um 3,5, also $\begin{eqnarray*} S\begin{pmatrix} 2 \\ -4 \\ 5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

Aaaber in einer Beispiel aufgabe im Buches hat man folgendermaßen gerechnet:

Beispielaufgabe:
Die Punkte A(3/5/-1), B(7,1,-3), C(5/-3/1) und D(1/1/3) liegen in einer Ebene E und bilden die Ecken eines Quadrats. Es gibt 2 gerade Pyramiden mit ABCD als Grundfläche und der Höhe 6. Berechnen Sie die Koordinaten der zugehörigen Spitzen.

Lösung des Buches:

M(4/1/0). Die Höhe 6 bedeutet: S hat von der Ebene E bzw. dem Punkt M den Abstand 6.

$\begin{eqnarray*} <br /> \vec{OS_{1}}=\vec{OM}+6\cdot \frac{1}{| \vec{n} | } \cdot \vec{n} \end{eqnarray*}$

Wann kann ich denn einfach etwas zur x3 Koordinate dazuaddieren und wann rechne ich das wie im Buch? verwirrt

Zitat:

Edit: Die Gerade in Deiner Zeichnung entspricht nicht der aus dem Eingangspost.

Ja, die Zeichnung sollte nur verdeutlichen, was ich meinte. Ich hatte wirklich angenommen, dass meine Gerade parallel zur x2 Achse wäre Hammer

Zitat:

dit opi: Der Anhang kam auch später, ich habe die pdf.- aber durch eine jpg.-Datei ersetzt, damit man das Bild direkt sehen kann. Auch wenn heute Ostern ist. Augenzwinkern

Vielen Dank, ich hab das am Anfang auch versucht, aber ich bekam nur Fehlermeldungen, also habe ich improvisiert Big Laugh

31.03.2013, 17:48

opi

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Der Punkt S ist richtig, aber $\begin{eqnarray*} |\overrightarrow{AS}| \end{eqnarray*}$ stimmt nicht.
Einfacher als mit dem Satz des Heron läßt sich die Fläche mit dem Kreuzprodukt berechnen: $\begin{eqnarray*} A=\frac 12 \cdot |\overrightarrow{BA} \times \overrightarrow{BS}| \end{eqnarray*}$

Der Unterschied in der Findung des Punktes S liegt darin, daß es sich bei der Touristenpyramide um eine schiefe und bei der Beispielaufgabe um eine gerade Pyramide handelt. Bei der ersten ist die Lage der Spitze im Aufgabentext beschrieben (etwas dürftig, gibt es dazu eine Skizze?), bei der zweiten liegen sie lotrecht über/unter dem Mittelpunkt der Grundfläche.

01.04.2013, 11:55

rechner

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Alles klar, ich habs jetzt verstanden! Tanzen

Vielen Dank für die Hilfe, und das am Ostern smile

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