Hypothesentest Binomialverteilung

31.03.2013, 01:40	Kartoffel666	Auf diesen Beitrag antworten »
Hypothesentest Binomialverteilung Haallo :-D Meine Frage Eine Münze wird 30 mal geworfen, davon zählt man 19 mal Wappen. Wenn $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ = 5% die obere grenze der Irrtumswahrscheinlichkeit ist, überprüfe die Nullhypothese, dass die Münze ideal ist. Mein Lösungsvorschlag Ich mache immer noch etwas Flüchtigkeitsfehler beim Berechnen des Verwerfungsbereiches :-/ Ist das richtig: n = 30, p = 1/2 $\begin{eqnarray} p(x) = \begin{pmatrix} 30 \\ 19 \end{pmatrix} (1/2)^x (1/2)^{30-x} \end{eqnarray}$ = 5,1% Und für den Verwerfungsbereich: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{x=0}^9 \begin{pmatrix} 30 \\ x \end{pmatrix} (1/2)^x (1/2)^{30-x} \end{eqnarray}$ = 2,1% $\begin{eqnarray} \sum\limits_{x=21}^{30} \begin{pmatrix} 30 \\ x \end{pmatrix} (1/2)^x (1/2)^{30-x} \end{eqnarray}$ =2,1% Also ist der Verwerfungsbereich: {0,...,9} $\begin{eqnarray} \cup \end{eqnarray}$ {21,...,30} und die Nullhypothese wird nicht verworfen. Stimmt das - auch die einzelnen Schritte? Danke :-D
31.03.2013, 10:29	Kartoffel666	Auf diesen Beitrag antworten »
..und und und?
31.03.2013, 13:06	Kasen75	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, mir ist nicht ganz klar, wie du auf die 9 bzw. 21 kommst. Vielleicht könntest du das nochmal erläutern. Grüße.
31.03.2013, 13:12	Kartoffel666	Auf diesen Beitrag antworten »
Ist es denn richtig? :-D Ich komme darauf, weil die gesamte Wahrscheinlichkeit der Verwerfungsbereiche unter 5% liegen muss.
31.03.2013, 14:20	Kasen75	Auf diesen Beitrag antworten »
Es ist richtig, das die Wahrscheinlichkeit für den gesamten Verwerfungsbereich unter 5% liegen muss. D.h. die Wahrscheinlichkeit für den unteren sowie für den oberen Verwerfungsbereich müssen jeweils unter 2,5% liegen. Das muss man erstmal aufschreiben. $\begin{eqnarray} P(x\leq c_u)=P(x\leq k) = \sum\limits_{x=0}^k \begin{pmatrix} 30 \\ x \end{pmatrix} \left(\frac{1}{2}\right)^x \left(\frac{1}{2}\right)^{30-x} \leq \frac{0,05}{2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} c_u \end{eqnarray}$ : Obere Grenze des unteren Verwerfungsbereich. Also muss man das k finden, bei dem die kummulierte Wahrscheinlichkeit kleiner als $\begin{eqnarray} \frac{0,05}{2} \end{eqnarray}$ ist. Hier kommt in der Tat 9 heraus. Das musst du aber erstmal klar machen. Aufgrund der Wahrscheinlichkeit von 0,5 ist die Binomialverteilung symmetrisch. Somit ist die untere Grenze des oberen Verwerfungsbereich $\begin{eqnarray} 30-c_u=c_o=21 \end{eqnarray}$ Man kann es aber auch als Gleichung aufschreiben. Das ist insbesondere nötig, wenn $\begin{eqnarray} p \neq 0,5 \end{eqnarray}$ und die Binomialverteilung somit nicht symmetrisch ist. Dort sind der untere und obere Ablehnungsbereich nicht gleich groß. Bei diskreten Verteilungen gilt: $\begin{eqnarray} P(x\geq k)=1-P(x\leq k\textcolor{red}{-}1) \end{eqnarray}$ oberer Verwerfungsbereich: $\begin{eqnarray} P(x\geq c_o)=P(x\geq k) = 1-P(x\leq k\textcolor{red}{-}1)=1-\sum\limits_{x=0}^{k\textcolor{red}{-}1} \begin{pmatrix} 30 \\ x \end{pmatrix} \left(\frac{1}{2}\right)^x \left(\frac{1}{2}\right)^{30-x}\leq \frac{0,05}{2} \end{eqnarray}$ Wichtig ist, dass du aufschreibst, dass die Wahrscheinlichkeiten für die Ablehungsbereiche jeweils kleiner als 2,5% sind. Das Ergebnis ist aber, wie ich schon angedeutet habe, richtig.

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