Differentialgleichung

31.03.2013, 11:24

Integraluss

Differentialgleichung

Hallo,

ich hab hier eine Diff.-Gleichung, die ich net ganz verstehe:

Hier der Lösungsvorgang:
1: $\begin{eqnarray*} y' - y^2*cos(x) = 0 \end{eqnarray*}$
2: $\begin{eqnarray*} \frac{dy}{dx}=y^2*cos(x)=0 \end{eqnarray*}$
3: $\begin{eqnarray*} \frac{dy}{dx}*\frac{1}{y^2}=cos(x) \end{eqnarray*}$
4: $\begin{eqnarray*} dy*\frac{1}{y^2} = cos(x)dx \end{eqnarray*}$
5: $\begin{eqnarray*} \int \! \frac{1}{y^2} \, dy = \int \! cos(x) \, dx \end{eqnarray*}$
6: $\begin{eqnarray*} -\frac{1}{y} = sind(x)+C \end{eqnarray*}$

Dann nur noch unformen und fertig.

Meine Frage ist jetzt:
Warum wird in Schritt 6 nur bei der x-Integral ein +C dann hinzugetan und nicht beim y?

Ja, ich könnte jetzt sagen weil y die Funktion ist, aber ich verstehe das nicht, kann mir das wer näher erklären bitte?

Und wann muss ich dann die homogene und die partikullere Lösung berechnen? Warum wird das hier bei meinem Bsp nicht angewandt?

Wann muss man denn die homogene und partikuläre Lösung berechnen?

Bitte helft mir!

Danke!

mfg

Integraluss

31.03.2013, 11:34

RavenOnJ

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Du kannst gerne auf beiden Seiten eine Integrationskonstante hinzunehmen. Das bringt nur nichts, da du durch Subtraktion der Gleichung mit einer dieser Konstanten diese entfernen kannst.

31.03.2013, 11:44

RavenOnJ

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RE: Differentialgleichung

Zitat:

Original von Integraluss
Und wann muss ich dann die homogene und die partikullere Lösung berechnen? Warum wird das hier bei meinem Bsp nicht angewandt?

Wann muss man denn die homogene und partikuläre Lösung berechnen?

Du hast hier eine nicht-lineare DGl, da gibt es keine homogene oder partikuläre Lösung. Homogene und partikuläre Lösung gibt es bei inhomogenen, linearen DGls. Bei linearen DGls ohne Inhomogenität reicht die homogene Lösung.

31.03.2013, 11:49

Integraluss

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Aber wenn ich das C jetzt nur auf der linken Seite beim Y lasse, dann ist ja in der endgültigen Formel das C mit einem negativen Vorzeichen....

Wenn ich das C rechts habe, dann ist es in der endgütligen Formel positiv.

Bitte die Frage mit homogen und partikulär auch beantworten.

Danke.

31.03.2013, 12:13

RavenOnJ

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Eine Integrationskonstante kann jeden beliebigen Wert annehmen, auch negative. Nur eine weitere Nebenbedingung, wie beispielsweise der Wert von y an einer bestimmten Stelle x_0, kann die Integrationskonstante festlegen.

Die andere Frage hatte ich dir vorher schon beantwortet.

31.03.2013, 12:34

Integraluss

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Dankeschön smile

und sorry hab die vorherige Antwort nicht gesehen..

Also ist eine Differentialgleichung inhomogen, wenn ein x-Anteil vorkommt, also wenn dieser dazu addiert/subtrahiert wird?

Wenn der x-Anteil z.B. multipliziert wird, also wie in meinem Bsp cos(x), dann ist diese homogen.

Zusammengefasst:
bei homogenen Dgl. muss man das folgendermaßen Lösen: alle y, auch ableitungen etc. auf die linke seite und alle x auf die rechte seite.
Beide seiten integrieren usw.

Bei inhomogenen Dgl. muss man homogene Lösung ausrechnen und partikuläre.
homogen: hier auch so lösen wie oben beschrieben, nur wenn jene x-Anteile die addiert/subtrahiert werden durch 0 ersetzen.
partikulär: resultat der homogenen Lösung ableiten und für y' in der Hauptformel einsetzen - fertig.

Hab ich alles bisher gesagte richtig verstanden/formuliert?

Noch ne Frage:
Wir haben da so 3 Fälle aufgeschrieben:
allgemeine Form: $\begin{eqnarray*} y'=p(x)*y + q(x) \end{eqnarray*}$
Was ist das p und q, warum hängt das vom x ab?

1.Fall: p(x)=q(x)=0

$\begin{eqnarray*} y'=q(x) \end{eqnarray*}$
Wenn ich jetzt einsetze komm doch raus: y'=0
Ich bin verwirrt. Oder is das ein Schreibfehler und q(x) müsste ungleich 0 sein?

2.Fall: p(x) != 0, q(x)=0

$\begin{eqnarray*} y'=p(x)*y \end{eqnarray*}$
Hier verstehe ich es q(x) fällt weg.

3.Fall:
p(x) und q(x) sind ungleich 0.
$\begin{eqnarray*} y'=p(x)*y + q(x) \end{eqnarray*}$
Hier vestehe ich es auch, es fällt nichts weg.

Aber was sagen mir diese 3 Fälle? Was bedeuten die Funktionen p und q? Warum sind diese von x abhängig? Wie hängt das ganze zusammen?

31.03.2013, 13:02

RavenOnJ

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Inhomogen ist die DGl, wenn es einen Summanden gibt, der nicht von y abhängt. Wie z.B. in

$\begin{eqnarray*} y'' + 3 y' + x^2 y = x^3 +6\;\;\; (*) \end{eqnarray*}$

Hier ist $\begin{eqnarray*} x^3 +6 \end{eqnarray*}$ die Inhomogenität, während die homogene DGl

$\begin{eqnarray*} y'' + 3 y' + x^2 y =0 \end{eqnarray*}$

lautet. Jede Lösung dieser homogenen DGl kann zu einer Lösung von (*) dazu addiert werden.

Zitat:

partikulär: resultat der homogenen Lösung ableiten und für y' in der Hauptformel einsetzen - fertig.

Das verstehe ich nicht, ist vermutlich falsch. Eine partikuläre Lösung erhält man typischerweise durch das Verfahren "Variation der Konstanten". Google mal.

Zitat:

allgemeine Form: $\begin{eqnarray*} y'=p(x)*y + q(x) \end{eqnarray*}$
Was ist das p und q, warum hängt das vom x ab?

p und q sind einfach Funktionen in x.

Ich denke, du solltest dich mal in Lösungsverfahren von linearen DGls vertiefen. Das ist ein weites Feld, das ich hier nicht auf die Schnelle ausbreiten kann.

02.04.2013, 13:42

Integraluss

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Danke dir!

Ich verstehe jetzt diese Fälle... diese deuten einfach auf inhomogenität oder homogenität hin. Und das mit p und q, ist mir auch klar. Ich hatte nur einen Denkfehler.

Ich habe jetzt hier eine Dgl, wo ich die "Trennung der Variablen" nicht hinbekomme.

3000*(dv/dt)=480-60v

Ich könnte jetzt die 60v nach links addieren, aber dann bekomme ich nicht das dt nach rechts. Alle funktion von v müssen ja links stehen und alle t-abhängigen nach rechts, also die 480 bleiben rechts.

02.04.2013, 13:49

RavenOnJ

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Für die Lösung der homogenen ist ein Exponentialansatz gut, da es sich um eine lineare DGl mit konstanten (also nicht t-abhängigen) Koeffizienten handelt. Danach die partikuläre Lösung durch Variation der Konstanten.

Edit: Wie ich oben schon schrieb, ist das ein Fall, wo eine Lösung durch Trennung der Variablen nicht möglich ist.

02.04.2013, 13:59

Che Netzer

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Zitat:

Original von RavenOnJ
Edit: Wie ich oben schon schrieb, ist das ein Fall, wo eine Lösung durch Trennung der Variablen nicht möglich ist.

Wo hast du das geschrieben?
Die Gleichung
$\begin{eqnarray*} 3000\frac{\dd v}{\dd x}=480-60v \end{eqnarray*}$
kann man jedenfalls durchaus mit der Trennung der Variablen lösen.

Zitat:

Original von Integraluss
2: $\begin{eqnarray*} \frac{dy}{dx}=y^2*cos(x)=0 \end{eqnarray*}$

Hier darf rechts übrigens kein $\begin{eqnarray*} =0 \end{eqnarray*}$ mehr stehen.

02.04.2013, 14:01

Integraluss

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Kannst du mir den Exponentialsatz zeigen bei dem Bsp bitte? Der auf Wikipedia ist irgendwie verwirrende, da er in der dgl schon ein e^... hat.

02.04.2013, 14:07

RavenOnJ

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Zitat:

Original von Che Netzer

Zitat:

Original von RavenOnJ
Edit: Wie ich oben schon schrieb, ist das ein Fall, wo eine Lösung durch Trennung der Variablen nicht möglich ist.

Wo hast du das geschrieben?

Hatte den Inhalt des Threads nicht mehr genau im Kopf. Oder ich hatte etwas im Kopf, was ich später wieder gelöscht habe, da es nicht richtig war. mea culpa

Zitat:

Die Gleichung
$\begin{eqnarray*} 3000\frac{\dd v}{\dd x}=480-60v \end{eqnarray*}$
kann man jedenfalls durchaus mit der Trennung der Variablen lösen.

wie?

02.04.2013, 14:13

Che Netzer

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Abgesehen davon, dass ich $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ geschrieben habe:
Da kein $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ in der Gleichung vorkommt, ist es auch überaus leicht, das $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ vom $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ zu trennen: Einfach durch $\begin{eqnarray*} 480-60v \end{eqnarray*}$ teilen Augenzwinkern

(und am besten noch eine $\begin{eqnarray*} 60 \end{eqnarray*}$ rauskürzen)

02.04.2013, 14:18

RavenOnJ

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so banal

, da muss man erst mal drauf kommen. Da hatte ich mal wieder in eingefahrenen Bahnen gedacht. Aber einfacher als der Exponentialansatz ist das nicht.

02.04.2013, 14:27

Integraluss

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Mh ok, aber könnt ihr mir das bitte mit dem Exponentialsatz auch zeigen?

Dann fahr ich auf der sicheren Schiene, bei allem Bsps mit konstanten Koeffizienten^^.

02.04.2013, 14:31

RavenOnJ

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Ansatz: $\begin{eqnarray*} v(t) = c\exp(\alpha t) \end{eqnarray*}$ Dies dann in die homogene einsetzen. Man bekommt dann die charakteristische Gleichung in $\begin{align*} \alpha \end{align*}$ .

02.04.2013, 14:35

RavenOnJ

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In dem speziellen Fall ist auch das Finden der partikulären Lösung einfach, da man zur homogenen Lösung einfach 8 dazu addieren kann, da die Inhomogenität nur eine Konstante ist.

02.04.2013, 14:38

Che Netzer

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Und ein paar allgemeine Nebenbemerkungen:
Bei DGLs der Form
$\begin{eqnarray*} v'(t)=a(t)v(t)+c\cdot a(t) \end{eqnarray*}$
kann man wunderbar $\begin{eqnarray*} \tilde v=v+c \end{eqnarray*}$ substituieren und erhält
$\begin{eqnarray*} \tilde v'(t)=a(t)\tilde v(t)\,. \end{eqnarray*}$

Ansonsten ist ein "Ansatz der rechten Seite" auch hilfreich und meist angenehmer als die Variation der Konstanten.

02.04.2013, 14:58

Integraluss

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Zitat:

Original von RavenOnJ
Ansatz: $\begin{eqnarray*} v(t) = c\exp(\alpha t) \end{eqnarray*}$ Dies dann in die homogene einsetzen. Man bekommt dann die charakteristische Gleichung in $\begin{align*} \alpha \end{align*}$ .

Irgendwie bin ich jetzt verwirrt. Das ist doch "Variaton der Konstanten".

Wir haben da eine inhomogene, linear Dgl 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten. Die Störfunktion ist linear, nämlich 480.

Bei konstanten Koeffizienten wird "Ansatz über die Störfkt." bevorzugt --> partikuläre Lösung.

Und die homogene Lösung bekommt man durch Trennung von Variablen. Ich hab es nachgeschaut im Heft und bin auf folgendes draufgekommen.

Die 60 rausgekürzt: $\begin{eqnarray*} 50*\frac{dv}{dt}=8-v \end{eqnarray*}$

Man denkt sich die Störfunktion weg für die homogene Lösung:
$\begin{eqnarray*} 50*\frac{dv}{dt}=-v \end{eqnarray*}$

Und jetzt "Trennung der Variablen":
Die 50 auf die rechte seite dividieren und dann v auf die linke seite dividieren und rauskommt:
$\begin{eqnarray*} \int \frac{1}{v}dv = -1/50\int dt \end{eqnarray*}$

Genau so verstehe ich es.

Wie habt ihr das gemeint? Gleich mit der Störfunktion, Exponentialsatz anwenden?

02.04.2013, 15:13

RavenOnJ

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Jetzt gehst du einen anderen Weg, indem du die homogene DGl durch Trennung der Variablen löst. Das ist genauso OK.

Ich hatte das c im Exponentialansatz nur reingeschrieben, weil die allgemeine Lösung der homogenen DGl auch eine Multiplikation mit einer Konstanten ermöglicht. Das ist die Konstante, die dann im Verfahren "Variation der Konstanten" variiert wird. Man kann den Exponentialansatz auch ohne das c schreiben:

$\begin{eqnarray*} v=\exp(\alpha t) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} v' = \alpha\exp(\alpha t) \end{eqnarray*}$

Dies muss man jetzt beides in die homogene DGl einsetzen und erhält die charakteristische Gleichung

$\begin{eqnarray*} 50\alpha +1 = 0 \end{eqnarray*}$

Mit $\begin{eqnarray*} \alpha = -\frac 1 {50} \end{eqnarray*}$ erhält man als allgemeine Lösung der homogenen DGl

$\begin{eqnarray*} v_0(t) = c\exp\Big(-\frac t {50}\Big) \end{eqnarray*}$

02.04.2013, 16:05

Integraluss

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Mh ok danke, d.h. ich bin mit meiner Lösung auch immer auf dem sicheren Weg? Also mit homogenen Lösung und partikulär einzeln ausrechnen und am Schhluss addieren?

Andere Frage:

Bein Bsp zu Freie Schwingungen:
Eine MAsse m=1kg hängt an deiner verikalen Feder mit der Federkosntante c=104N/m. Hängt man eine zweite, gleich große Masse dazu, so verlängeret sich die Feder. Bestimme die Bewegung der ersten Masse, wenn die zweite Masse plötzlich herunterfällt in einem zähen Medium mit der Dämpfungskonstante b=4kgs/s.

Dgl: $\begin{eqnarray*} m*y''+b*Y'+c*y = 0 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} y(0)=-mg/c \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y'(0)=0 \end{eqnarray*}$

Wenn ich mir den Dämpfungsgrad ausrechne aus dem Ablkingkoeffizienten delta und aus der Kennkreisfrequenz $\begin{eqnarray*} \omega \end{eqnarray*}$ kommt $\begin{eqnarray*} D=0,19.... \end{eqnarray*}$ raus.

---> Schwingfall und der Lösungsansatz für diesen wäre:
$\begin{eqnarray*} y=C1*e^{-\delta *t}*sin(\omega_d*t)+C2*e^{-\delta *t}*cos(\omega_d*t) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \omega_d = \sqrt{\delta^2 + \omega^2} \end{eqnarray*}$

Wir haben aber ganz normal die Dgl 2. Ordnung gelöst:
Also charakterstische Gleichung aufgestellt: $\begin{eqnarray*} k^2+4k+104=0 \end{eqnarray*}$
--> $\begin{eqnarray*} k1=-2-10j \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} k2=-2+10j \end{eqnarray*}$
Und wenn ich k1 und k2 jetzt in die allg. Lösung einer Dgl 2. Ordnung einsetze, dann kommt exakt dasselbe raus wie wenn ich den Abklingkoeffizient und die Kreisfrequenz $\begin{eqnarray*} \omega \end{eqnarray*}$ in den Lösungsansatz für den Schwingfall einsetze.

Weil wenn man schaut ist $\begin{eqnarray*} \delta = 2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \omega_d = 10 \end{eqnarray*}$

Ist das nun geschmackssache welchen Weg ich hier nehme? Warum kommt man denn auf dieselben Lösungen da?

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