DGL erster ordnung

31.03.2013, 14:23

dgl15

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DGL erster ordnung

Meine Frage:
Hallo leute ich habe probleme bei folgender Aufgabe:

Bestimmen Sie alle Lösungen der Differentialgleichung

y` -x*y = x

Könnt ihr mir erklären wie ich bei so einer AUfgaben ran gehen muss.
Das macht mir soviel probleme.

Meine Ideen:
leider nicht

31.03.2013, 14:24

Che Netzer

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RE: DGL erster ordnung
Welches Lösungsverfahren habt ihr denn dazu besprochen?
Habt ihr schon ähnliche Aufgaben in der Übung gelöst?

31.03.2013, 14:34

dgl15

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Das ist genau die erste ünbung zu diesem Thema .
Wir haben was mit inhomogenen linearen differentialgleichungen besprochen .

HAst du tipps für mich?

31.03.2013, 14:42

Che Netzer

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Und ihr habt vorher keine Beispielaufgaben durchgerechnet?
Oder ein allgemeines Lösungsverfahren besprochen.

Und wenn ich dir sage, dass du eine allgemeine Lösung der homogenen Gleichung und eine spezielle Lösung der inhomogenen Gleichung suchen sollst – sagt dir das irgendetwas?

31.03.2013, 14:51

dgl15

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Ja so haben wir das gemacht.

Aber ich habe leider probleme wie man so etwas macht.

Die homogene gleichung ist nach meinem skript allgemein:

y` = a(x) y +bx

Aber was wäre das dann in meiner Gleichung ?

Das ist so mein problem im moment.

31.03.2013, 14:54

Che Netzer

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Zitat:

Original von dgl15
Ja so haben wir das gemacht.

Eben hieß es noch, das sei die erste Übung dazu...

Zitat:

Die homogene gleichung ist nach meinem skript allgemein:

y` = a(x) y +bx

Das ist keine homogene Gleichung...

Der inhomogene Anteil der DGL ist grob gesagt der, in dem kein $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ auftaucht.

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31.03.2013, 14:59

dgl15

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DAS ist auch die erste übung dazu . Aber die verlangen halt schon ziemlich viel.

Dann wäre die inhomogene gleichung ja nur :

-x = x ?

Wenn ich das y weglasse?

Es tut mir leid wenn meine antwort zu blöd ist , aber ich hab das thema überhaupt nicht verstanden.

31.03.2013, 15:02

Che Netzer

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Zitat:

Original von dgl15
DAS ist auch die erste übung dazu . Aber die verlangen halt schon ziemlich viel.

Wenn ihr das aber schonmal gemacht habt, war das doch die erste Übung...

Zitat:

Dann wäre die inhomogene gleichung ja nur :

-x = x ?

Wenn ich das y weglasse?

Nein, die inhomogene Gleichung ist die gesamte Gleichung.
Die homogene Gleichung entsteht, indem du alle Summanden, die kein $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ enthalten, weglässt.

31.03.2013, 15:05

dgl15

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Ah ok .

Dann ist de inhomogene Gleichung:

y` -x*y = x

Und summand der einfach kein y enthält wäre doch dann nur x .

Ich hoffe das stimmt?

31.03.2013, 15:07

dgl15

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Tschuldigung es wäre dann y`-xy oder?

31.03.2013, 15:07

Che Netzer

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Ja.
Wobei du den Ableitungsstrich aber lieber mit ' statt mit ` schreiben solltest.

Wie lautet nun die homogene Gleichung?

31.03.2013, 15:10

dgl15

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Ich schreibs nochmal sauber auf .

Du hast wohl meinen thread überlesen:

Dann ist de inhomogene Gleichung:

y´ -x*y = x

Homogene Gleichung:

y´ - xy

Stimmts ?

31.03.2013, 15:12

Che Netzer

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Zitat:

Original von dgl15
Homogene Gleichung:

y´ - xy

Das willst du mir als Gleichung verkaufen?

Was den Ableitungsstrich angeht: Da bist du jetzt vom Gravis ` zum Akut ´ gewechselt... Der richtige Strich (Apostroph bzw. Aposroph-Ersatzzeichen) ist ' über dem #-Zeichen neben der Enter-Taste.

31.03.2013, 15:19

dgl15

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Ups so oder ?

inhomogen: y' -x *y = x

y' -xy = 0

Müsste das sein .

WIe muss ich eigentlich weiter vorgehen ?

31.03.2013, 15:21

Che Netzer

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Ja, das sieht besser aus.
Jetzt finde
a) die allgemeine Lösung der homogenen Gleichung und
b) irgendeine spezielle Lösung der inhomogenen Gleichung.
Womit möchtest du anfangen?

31.03.2013, 15:28

dgl15

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Fangen wir mit der homogenen an:

Vielleicht ist es einfacher:

y' -xy = 0

Wie berechne ich genau die spezielle Lösung?

Wenigstens einen kleinen tipp benötige ich dazu.

Da es ja die erste übung zu diesem thema ist.

Auch wenn du mir widersprichts. Big Laugh

Big Laugh

31.03.2013, 15:34

Che Netzer

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Wenn ihr dazu noch keine allgemeine Formel besprochen habt, probier es mit der Trennung der Veränderlichen (die ist hoffentlich bekannt...?).

31.03.2013, 15:40

dgl15

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Das würde ich dann irgendwie so machen:

auf der linken seite nach y integrieren , und auf der rechten nach x.

$\begin{eqnarray*} \int_a^b \! y' \, dy \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \int_a^b \! -xy \, dx \end{eqnarray*}$

Würde das so gehen ?

31.03.2013, 15:41

Che Netzer

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Nein.
Erst einmal ist das Vorzeichen falsch, außerdem hast du die Variablen nicht getrennt. Sieh dir nochmal an, was man bei der Trennung der Veränderlichen überhaupt macht.

31.03.2013, 15:47

dgl15

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Wenn ich das richtig verstanden hab , müsste das so gehen:

$\begin{eqnarray*} \int_a^b \! \frac{y'}{y} \, dy \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \int_a^b \! x \, dx \end{eqnarray*}$

Ist es jetzt ok?

31.03.2013, 15:49

Che Netzer

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Nein.
Zunächst einmal haben die Grenzen $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ dort nichts zu suchen.

Und dann hättest du entweder $\begin{eqnarray*} y' \end{eqnarray*}$ als $\begin{eqnarray*} \frac{\dd y}\dx \end{eqnarray*}$ schreiben sollen oder du hättest die linke Seite nach $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ integrieren müssen.

31.03.2013, 15:52

dgl15

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JA ohne die grenzen stellt der editor das irgendwie nicht richtig dar.

Ok iich integrier es mal jetzt:

ln(y ) = $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}*x^2 \end{eqnarray*}$

Bitte sag nicht das es falsch ist?

Ansonsten wie gehe ich weiter vor?

31.03.2013, 15:58

Che Netzer

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Du musst beim Weglassen der Grenzen auch auf ^ und _ verzichten, also nur \int x\dx o.ä. schreiben.

Du hast jetzt allerdings noch die Integrationskonstante vergessen.
Nachdem du die hinzugeschrieben hast, wendest du die Exponentialfunktion auf die Gleichung an, um $\begin{eqnarray*} y=\dotso \end{eqnarray*}$ zu erhalten.

31.03.2013, 16:04

dgl15

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ln(y) + C = $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}*x^2 \end{eqnarray*}$ +c

y = $\begin{eqnarray*} e^{\frac{1}{2}*x^2 } + C \end{eqnarray*}$

Puuh ich hoffe das kein Felhler drin war .

Stimmt das ergebnis?

31.03.2013, 16:07

Che Netzer

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Du brauchst nur auf einer Seite ein $\begin{eqnarray*} +c \end{eqnarray*}$ , am besten rechts.
Das musst du dann aber auch mitexponentialisieren (oder wie auch immer...).

31.03.2013, 16:17

dgl15

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So wohl?

$\begin{eqnarray*} y= e^{\frac{1}{2}*x^2 +C} \end{eqnarray*}$

Leider muss ich gleich wieder fragen :

y´ -x*y = x

Muss ich bei dieser Gleichung auch die Lösung durch trennung der veränderlichen berechnen?

31.03.2013, 16:25

Che Netzer

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Zitat:

Original von dgl15
So wohl?

$\begin{eqnarray*} y= e^{\frac{1}{2}*x^2 +C} \end{eqnarray*}$

Ja. Jetzt kannst du $\begin{eqnarray*} \mathrm e^C \end{eqnarray*}$ als neue Konstante $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ definieren und erhältst
$\begin{eqnarray*} y=c\mathrm e^{\frac{x^2}2} \end{eqnarray*}$
als allgemeine Lösung der homogenen Gleichung.

Zitat:

Leider muss ich gleich wieder fragen :

y´ -x*y = x

Muss ich bei dieser Gleichung auch die Lösung durch trennung der veränderlichen berechnen?

Könntest du zwar machen, das ist aber sicher nicht Sinn der Aufgabe.
Das können wir aber gerne am Ende nachholen, erstmal solltest du den Standardweg verstehen.

Jetzt suchst du also eine Lösung der Gleichung
$\begin{eqnarray*} y'-xy=x\,. \end{eqnarray*}$
Hier würde ich empfehlen, zu raten.
Denk dir eine möglichst einfache Funktion $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ aus, setze sie ein und sieh nach, ob das passt.

31.03.2013, 16:38

dgl15

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wenn ich für y = -1 einsetze dann würde

ja x = x rauskommen ?

Könnte das so gehen ?

31.03.2013, 16:42

Che Netzer

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Ja, genau, $\begin{eqnarray*} y=-1 \end{eqnarray*}$ ist eine inhomogene Lösung.
Jetzt setze beides zur allgemeinen Lösung der inhomogenen Gleichung zusammen.

Danach können wir $\begin{eqnarray*} y'-yx=x \end{eqnarray*}$ direkt mit der Trennung der Veränderlichen lösen.

31.03.2013, 16:46

dgl15

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Jetzt setze beides zur allgemeinen Lösung der inhomogenen Gleichung zusammen.

Was meinst du hiermit ?

Das habe ich nicht so ganz verstanden .

Meinst du das ?

x = x ?

31.03.2013, 16:49

Che Netzer

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Du hast die allgemeine Lösung
$\begin{eqnarray*} y_h=c\mathrm e^{\frac{x^2}2} \end{eqnarray*}$
der homogenen Gleichung und eine spezielle Lösung
$\begin{eqnarray*} y_p=-1 \end{eqnarray*}$
der inhomogenen Lösung. Ihr werdet dich besprochen haben, wie sich daraus eine allgemeine Lösung der inhomogenen Gleichung basteln lässt.

31.03.2013, 16:54

dgl15

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Kannst du mir erklären was ich dafür machen muss. Da habe ich wohl in der VOrlesung wohl nicht richtig aufgepasst. Big Laugh

Big Laugh

verwirrt

HAst du einen tipp was ich da genau machen muss?

31.03.2013, 16:56

Che Netzer

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Sieh deine Unterlagen durch.
Das Stichwort "Superpositionsprinzip" könnte auch eine Suche wert sein.

31.03.2013, 16:58

dgl15

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Ich hab gerade in meinem skript geguckt . Weiss nicht ob ich es richtig verstanden hab :

-1 = $\begin{eqnarray*} c*e^{\frac{1}{2}*x^2} \end{eqnarray*}$

Könnte ich das machen?

31.03.2013, 17:01

Che Netzer

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Nein, das $\begin{eqnarray*} = \end{eqnarray*}$ ist da das falsche Zeichen.
Was hast du in deinem Skript denn gefunden?

31.03.2013, 17:08

dgl15

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Da stand was von das gefundene y = c*e^{P*x} setzen:

WIe soll es sonst richtig lauten?

31.03.2013, 17:10

Che Netzer

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Zitat:

Original von dgl15
Da stand was von das gefundene y = c*e^{P*x} setzen:

Das wird wohl kaum der Wortlaut aus dem Skript sein...

Naja, kommt es dir bekannt vor, die Summe aus der homogenen und der inhomogenen Lösung zu bilden?

31.03.2013, 19:27

dgl15

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Dann hätte ich das : -1+c*e^{1/2x^2} stehen oder ?

Aber wie gehe ich weiter vor?

31.03.2013, 20:22

Che Netzer

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Das ist die allgemeine Lösung der Differentialgleichung.
Kannst du bis dahin alles nachvollziehen?

31.03.2013, 20:30

dgl15

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Eigentlich schon . Jetzt müsste ich doch fertig sein oder?

Oder muss ich jetzt irgendwie das C berechnen?

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