DGL erster ordnung

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dgl15 Auf diesen Beitrag antworten »
DGL erster ordnung
Meine Frage:
Hallo leute ich habe probleme bei folgender Aufgabe:

Bestimmen Sie alle Lösungen der Differentialgleichung

y` -x*y = x

Könnt ihr mir erklären wie ich bei so einer AUfgaben ran gehen muss.
Das macht mir soviel probleme.


Meine Ideen:
leider nicht
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: DGL erster ordnung
Welches Lösungsverfahren habt ihr denn dazu besprochen?
Habt ihr schon ähnliche Aufgaben in der Übung gelöst?
 
 
dgl15 Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist genau die erste ünbung zu diesem Thema .
Wir haben was mit inhomogenen linearen differentialgleichungen besprochen .

HAst du tipps für mich?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Und ihr habt vorher keine Beispielaufgaben durchgerechnet?
Oder ein allgemeines Lösungsverfahren besprochen.

Und wenn ich dir sage, dass du eine allgemeine Lösung der homogenen Gleichung und eine spezielle Lösung der inhomogenen Gleichung suchen sollst – sagt dir das irgendetwas?
dgl15 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja so haben wir das gemacht.

Aber ich habe leider probleme wie man so etwas macht.

Die homogene gleichung ist nach meinem skript allgemein:

y` = a(x) y +bx

Aber was wäre das dann in meiner Gleichung ?

Das ist so mein problem im moment.
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von dgl15
Ja so haben wir das gemacht.

Eben hieß es noch, das sei die erste Übung dazu...

Zitat:
Die homogene gleichung ist nach meinem skript allgemein:

y` = a(x) y +bx

Das ist keine homogene Gleichung...

Der inhomogene Anteil der DGL ist grob gesagt der, in dem kein auftaucht.
dgl15 Auf diesen Beitrag antworten »

DAS ist auch die erste übung dazu . Aber die verlangen halt schon ziemlich viel.

Dann wäre die inhomogene gleichung ja nur :

-x = x ?

Wenn ich das y weglasse?

Es tut mir leid wenn meine antwort zu blöd ist , aber ich hab das thema überhaupt nicht verstanden.
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von dgl15
DAS ist auch die erste übung dazu . Aber die verlangen halt schon ziemlich viel.

Wenn ihr das aber schonmal gemacht habt, war das doch die erste Übung...

Zitat:
Dann wäre die inhomogene gleichung ja nur :

-x = x ?

Wenn ich das y weglasse?

Nein, die inhomogene Gleichung ist die gesamte Gleichung.
Die homogene Gleichung entsteht, indem du alle Summanden, die kein enthalten, weglässt.
dgl15 Auf diesen Beitrag antworten »

Ah ok .

Dann ist de inhomogene Gleichung:

y` -x*y = x



Und summand der einfach kein y enthält wäre doch dann nur x .

Ich hoffe das stimmt?
dgl15 Auf diesen Beitrag antworten »

Tschuldigung es wäre dann y`-xy oder?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Ja.
Wobei du den Ableitungsstrich aber lieber mit ' statt mit ` schreiben solltest.

Wie lautet nun die homogene Gleichung?
dgl15 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich schreibs nochmal sauber auf .

Du hast wohl meinen thread überlesen:

Dann ist de inhomogene Gleichung:

y´ -x*y = x


Homogene Gleichung:


y´ - xy


Stimmts ?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von dgl15
Homogene Gleichung:


y´ - xy

Das willst du mir als Gleichung verkaufen?

Was den Ableitungsstrich angeht: Da bist du jetzt vom Gravis ` zum Akut ´ gewechselt... Der richtige Strich (Apostroph bzw. Aposroph-Ersatzzeichen) ist ' über dem #-Zeichen neben der Enter-Taste.
dgl15 Auf diesen Beitrag antworten »

Ups so oder ?

inhomogen: y' -x *y = x

y' -xy = 0

Müsste das sein .

WIe muss ich eigentlich weiter vorgehen ?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das sieht besser aus.
Jetzt finde
a) die allgemeine Lösung der homogenen Gleichung und
b) irgendeine spezielle Lösung der inhomogenen Gleichung.
Womit möchtest du anfangen?
dgl15 Auf diesen Beitrag antworten »

Fangen wir mit der homogenen an:

Vielleicht ist es einfacher:

y' -xy = 0

Wie berechne ich genau die spezielle Lösung?

Wenigstens einen kleinen tipp benötige ich dazu.

Da es ja die erste übung zu diesem thema ist.

Auch wenn du mir widersprichts. Big Laugh
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn ihr dazu noch keine allgemeine Formel besprochen habt, probier es mit der Trennung der Veränderlichen (die ist hoffentlich bekannt...?).
dgl15 Auf diesen Beitrag antworten »

Das würde ich dann irgendwie so machen:

auf der linken seite nach y integrieren , und auf der rechten nach x.


=


Würde das so gehen ?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Nein.
Erst einmal ist das Vorzeichen falsch, außerdem hast du die Variablen nicht getrennt. Sieh dir nochmal an, was man bei der Trennung der Veränderlichen überhaupt macht.
dgl15 Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn ich das richtig verstanden hab , müsste das so gehen:

=

Ist es jetzt ok?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Nein.
Zunächst einmal haben die Grenzen und dort nichts zu suchen.

Und dann hättest du entweder als schreiben sollen oder du hättest die linke Seite nach integrieren müssen.
dgl15 Auf diesen Beitrag antworten »

JA ohne die grenzen stellt der editor das irgendwie nicht richtig dar.

Ok iich integrier es mal jetzt:

ln(y ) =

Bitte sag nicht das es falsch ist?

Ansonsten wie gehe ich weiter vor?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Du musst beim Weglassen der Grenzen auch auf ^ und _ verzichten, also nur \int x\dx o.ä. schreiben.

Du hast jetzt allerdings noch die Integrationskonstante vergessen.
Nachdem du die hinzugeschrieben hast, wendest du die Exponentialfunktion auf die Gleichung an, um zu erhalten.
dgl15 Auf diesen Beitrag antworten »

ln(y) + C = +c


y =

Puuh ich hoffe das kein Felhler drin war .

Stimmt das ergebnis?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Du brauchst nur auf einer Seite ein , am besten rechts.
Das musst du dann aber auch mitexponentialisieren (oder wie auch immer...).
dgl15 Auf diesen Beitrag antworten »

So wohl?



Leider muss ich gleich wieder fragen :

y´ -x*y = x

Muss ich bei dieser Gleichung auch die Lösung durch trennung der veränderlichen berechnen?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von dgl15
So wohl?


Ja. Jetzt kannst du als neue Konstante definieren und erhältst

als allgemeine Lösung der homogenen Gleichung.

Zitat:
Leider muss ich gleich wieder fragen :

y´ -x*y = x

Muss ich bei dieser Gleichung auch die Lösung durch trennung der veränderlichen berechnen?

Könntest du zwar machen, das ist aber sicher nicht Sinn der Aufgabe.
Das können wir aber gerne am Ende nachholen, erstmal solltest du den Standardweg verstehen.

Jetzt suchst du also eine Lösung der Gleichung

Hier würde ich empfehlen, zu raten.
Denk dir eine möglichst einfache Funktion aus, setze sie ein und sieh nach, ob das passt.
dgl15 Auf diesen Beitrag antworten »

wenn ich für y = -1 einsetze dann würde

ja x = x rauskommen ?

Könnte das so gehen ?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, genau, ist eine inhomogene Lösung.
Jetzt setze beides zur allgemeinen Lösung der inhomogenen Gleichung zusammen.

Danach können wir direkt mit der Trennung der Veränderlichen lösen.
dgl15 Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt setze beides zur allgemeinen Lösung der inhomogenen Gleichung zusammen.

Was meinst du hiermit ?

Das habe ich nicht so ganz verstanden .

Meinst du das ?

x = x ?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast die allgemeine Lösung

der homogenen Gleichung und eine spezielle Lösung

der inhomogenen Lösung. Ihr werdet dich besprochen haben, wie sich daraus eine allgemeine Lösung der inhomogenen Gleichung basteln lässt.
dgl15 Auf diesen Beitrag antworten »

Kannst du mir erklären was ich dafür machen muss. Da habe ich wohl in der VOrlesung wohl nicht richtig aufgepasst. Big Laugh verwirrt


HAst du einen tipp was ich da genau machen muss?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Sieh deine Unterlagen durch.
Das Stichwort "Superpositionsprinzip" könnte auch eine Suche wert sein.
dgl15 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hab gerade in meinem skript geguckt . Weiss nicht ob ich es richtig verstanden hab :

-1 =

Könnte ich das machen?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, das ist da das falsche Zeichen.
Was hast du in deinem Skript denn gefunden?
dgl15 Auf diesen Beitrag antworten »

Da stand was von das gefundene y = c*e^{P*x} setzen:

WIe soll es sonst richtig lauten?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von dgl15
Da stand was von das gefundene y = c*e^{P*x} setzen:

Das wird wohl kaum der Wortlaut aus dem Skript sein...

Naja, kommt es dir bekannt vor, die Summe aus der homogenen und der inhomogenen Lösung zu bilden?
dgl15 Auf diesen Beitrag antworten »

Dann hätte ich das : -1+c*e^{1/2x^2} stehen oder ?

Aber wie gehe ich weiter vor?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist die allgemeine Lösung der Differentialgleichung.
Kannst du bis dahin alles nachvollziehen?
dgl15 Auf diesen Beitrag antworten »

Eigentlich schon . Jetzt müsste ich doch fertig sein oder?

Oder muss ich jetzt irgendwie das C berechnen?
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