Frage zum Gram-Schmidtschen Orthogonalisierungsverfahren

31.03.2013, 19:17	Algebrafan	Auf diesen Beitrag antworten »
Frage zum Gram-Schmidtschen Orthogonalisierungsverfahren Hallo, Mit Hilfe der Gram-Schmidtschen Algorithmus ist es ja möglich beispielsweise zu linear unabhängigen Vektoren (die einen Untervektorraum aufspannen) zwei andere Vektoren zu berechnen, die den selben UVR aufspannen..nur eben, dass diese neuen Vektoren senkrecht aufeinander stehen. Dazu gibt es ja folgende Formel (In dem Fall für 2 Vektoren) $\begin{eqnarray} u_{1} = v_{1} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} u_{2} = v_{2} - \frac{<u_{1}, v_{2} >}{<u_{1}, u_{1} >} u_{1} \end{eqnarray*}$ Hier kann man ja den ersten Vektor unverändert lassen und der weitere Vektor wird entsprechend so "umgeändert" , dass er genau senkrecht auf den ersten Vektor steht, und sodass beide Vektoren den selben UVR aufspannen. Ich habe mit der Formel bereits mehrmals gerechnet..klappt auch alles super... allerdings ist mir unklar, wie man auf die Formel kommt. der 2.te Teil der Formel...bei dem die weiteren Vektoren berechnet werden scheint einfach vom Himmel gefallen zu sein...ich sehe an der Formel nicht, dass da ein weiterer linear unabhängier und senkrechter Vektor berechnet wird. Hoffe da kann mir jemand helfen Licht ins dunkel zu bringen..wäre sehr dankbar
31.03.2013, 19:36	chrizke	Auf diesen Beitrag antworten »
Man kann für $\begin{eqnarray} u_2 \end{eqnarray}$ folgenden Ansatz machen: $\begin{eqnarray} u_2 = v_2 + k\cdot u_1 \end{eqnarray}$ Nun sollen ja $\begin{eqnarray} u_1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} u_2 \end{eqnarray}$ senkrecht sein. Das heißt es soll bitte gelten: $\begin{eqnarray} 0 = (u_2, u_1) = (v_2 + k\cdot u_1, u_1) = \ldots \end{eqnarray}$ Das kannst du nun nach k auflösen und erhältst die gesuchte Formel. Edit: Es gibt auch eine geometrische Herangehensweise, aber ich denke, so lässt es sich leichter erklären.
31.03.2013, 19:56	Algebrafan	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank

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