Prinzip! Bernoulli Dgl

31.03.2013, 21:55

dgl15

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Bernoulli Dgl

Meine Frage:
Ok che ich eröffne mal einen neuen Thread .

Hier die Aufgabe nochmal:

Ich hab ein wenig probleme mit bernoulli

Gegeben sei die Bernoullische Differenzialgleichung:

e^x*y' = $\begin{eqnarray*} -\frac{1}{3}*e^x *y - \frac{1}{3}y^4 \end{eqnarray*}$

, $\begin{eqnarray*} y*(ln(1+\sqrt{2} )) = 1 \end{eqnarray*}$

a) Transformieren Sie diese Differenzialgleichung in eine lineare Differenzialgleichung.
b) Bestimmen Sie die Lösung des obigen Anfangswertproblems.

Weisst du wie ich bei dieser schwierigen AUfgabe weiter vorgehen soll?

Ich weiss leider noch nicht wie ich so richtig rangehen soll.

Bitte hilf mir.

Meine Ideen:
keine

31.03.2013, 21:58

Che Netzer

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RE: Bernoulli Dgl
Ich habe dir doch gesagt, wie du anfangen sollst Augenzwinkern

Augenzwinkern

Schlage als erstes nach, was in deinen Unterlagen über Bernoulli-Differentialgleichungen steht (Diese Schreibweise mit z lehne ich kategorisch ab).
Insbesondere solltest du herausschreiben, wie die allgemeine Bernoulli-DGL aussieht.
Wie sehen die darin vorkommenden Funktionen/Variablen in diesem konkreten Fall aus?

31.03.2013, 22:02

dgl15

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Ok als allgemeine form steht bei mir das:

y' = a(x)*y +b(x)*y^a

ABer wie gehe ich weiter vor ?

Das ist so schwer anzuwenden .

EIn paar tips musst du mir bitte noch geben , weil ich sowas noch nie gemacht habe.

31.03.2013, 22:06

Che Netzer

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Jetzt versuchst du die hier gegebene DGL auf genau diese Form zu bringen.
Im ersten Schritt formst du die Gleichung so um, dass links nur $\begin{eqnarray*} y' \end{eqnarray*}$ steht.
Dann (oder schon davor) liest du ab, welchen Wert $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ in diesem Fall hat.

Versuche das mal.

Im übrigen nützt es nichts, andauernd nach Tipps zu fragen und darüber zu jammern, dass alles so schwer ist.
Damit erzeugst du nur viel mehr Text als nötig und machst keinen sehr motivierten oder interessierten Eindruck. Dadurch gebe ich dir auch nicht mehr Tipps.

31.03.2013, 22:09

dgl15

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Ok wenn ich die gleich nach y' umstelle habe ich das:

$\begin{eqnarray*} y' = -\frac{1}{3} *y - \frac{1}{3}y^4 \end{eqnarray*}$

Stimmt das?

31.03.2013, 22:15

Che Netzer

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Da ist rechts ein Term verschwunden. Wenn du eine Summe durch $\begin{eqnarray*} \mathrm e^x \end{eqnarray*}$ teilst, musst du beide Summanden dadurch teilen.

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31.03.2013, 22:18

dgl15

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Ah ok .

$\begin{eqnarray*} y' = -\frac{1}{3} *y - \frac{1}{3*e^x}y^4 \end{eqnarray*}$

Wie gehe ich weiter vor Che?

31.03.2013, 22:21

Che Netzer

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Jetzt vergleiche diese Gleichung mit
$\begin{eqnarray*} y'=a(x)y+b(x)y^\alpha \end{eqnarray*}$
und bestimme $\begin{eqnarray*} a(x) \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} b(x) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ so, dass wir die hier betrachtete Gleichung erhalten.

31.03.2013, 22:25

dgl15

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a(x) = -1/3

b(x) = -1/(3*e^x)

alpha = 4

Aber was mache ich jetzt genau als nächstes?

31.03.2013, 22:26

Che Netzer

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Das stimmt schonmal.

Jetzt schreibe heraus, welches Vorgehen ihr zum Lösen von Bernoulli-DGLs besprochen habt.
Schreibe also fürs erste nur stichpunktartig aus deinen Unterlagen ab.

31.03.2013, 22:32

dgl15

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So viel steht in meinem skript nicht zu dem thema .

Es steht was von substitution: z(x) = y(x)^{1-a}

SOll ich jetzt substituieren oder wie?

31.03.2013, 22:34

Che Netzer

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Ja, das ist schonmal ein Anfang.
Welchen Exponenten erhalten wir in diesem konkreten Fall also für $\begin{eqnarray*} z=y^{1-\alpha} \end{eqnarray*}$ ?

31.03.2013, 22:37

dgl15

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Das wäre :

y^{-3}

Wie gehts weiter?

31.03.2013, 22:42

Che Netzer

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Jetzt bilde mal $\begin{eqnarray*} z' \end{eqnarray*}$ .

31.03.2013, 22:44

dgl15

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$\begin{eqnarray*} z' = -3*y^{-4} = - \frac{3}{y^4} \end{eqnarray*}$

Was mache ich als nächstes?

31.03.2013, 22:49

Che Netzer

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Da hast du die Kettenregel nicht beachtet.

31.03.2013, 22:53

dgl15

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Ich versteh jetzt nicht so genau wo ich da jetzt kettenregel anwenden soll? verwirrt

verwirrt

In meinem skript steht noch :

y= z^{(1/1-a}

Das wäre ja y= z ^{-1/4 }

Wo muss ich das verwenden ?

Oder meinst du das ?

Weil mehr steht leider im skript nicht mehr drin.

31.03.2013, 22:57

Che Netzer

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Du hast $\begin{eqnarray*} z(x)=(y(x))^{-3} \end{eqnarray*}$ .
Wenn du das nach $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ableiten möchtest, musst du die Kettenregel anwenden.

31.03.2013, 23:01

dgl15

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Das verstehe ich nicht . Tut mir leid.

Ich habe y^-3 nach y abgeleitet und das raus: -3y^(-4)

Oder ist das falsch?

Oder soll ich das nach x ableiten? verwirrt

verwirrt

31.03.2013, 23:02

Che Netzer

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Ja, nach $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ – sagte ich doch eben schon und das ist auch die einzig sinnvolle Variable, nach der $\begin{eqnarray*} z(x) \end{eqnarray*}$ abzuleiten wäre.

31.03.2013, 23:06

dgl15

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Ich glaube ich verstehe es jetzt:

So oder:

z'(x) = $\begin{eqnarray*} -3*y(x)^{-4} \end{eqnarray*}$

Stimmt die Ableitung?

31.03.2013, 23:08

Che Netzer

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Genau das hast du eben schon behauptet. Und nein, du hast die Kettenregel immer noch nicht angewandt.
Du hast die rechte Seite schon wieder nach $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ abgeleitet.

31.03.2013, 23:10

dgl15

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Aber jetzt stimmts oder?

$\begin{eqnarray*} -3*(x)^{-4} \end{eqnarray*}$

31.03.2013, 23:12

Che Netzer

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Nein

Dann mal etwas ausführlicher für diese Stelle:
Angenommen, du müsstest $\begin{eqnarray*} g(y(x)) \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ mithilfe der Kettenregel ableiten. Wie sähe das dann aus?
Dabei fällt dir sicher ein bestimmter Term auf, der bei deinen bisherigen Versuchen nicht auftauchte.

31.03.2013, 23:17

dgl15

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Ich versuchs nochmal:

innere Ableitung ist : 1 Richtig?

Also:

1*y*(x)^(-3) * -3*y*(x)^-4

Ich hoffe das ist nicht falsch?

31.03.2013, 23:21

Che Netzer

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Zitat:

Original von dgl15
Ich hoffe das ist nicht falsch?

Ehrlich gesagt habe ich keine Ahnung, was das ist...
Aber "falsch" trifft es schon recht gut Augenzwinkern

Augenzwinkern

Also gut:
Schreib mir mal die ganz allgemeine Formel für die Kettenregel auf.

31.03.2013, 23:30

dgl15

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Ich versuche es nochmal :

(x)^-3 * -3(x)^{-4}

Richtig?

31.03.2013, 23:32

Che Netzer

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Nein...

Zitat:

Original von Che Netzer
Schreib mir mal die ganz allgemeine Formel für die Kettenregel auf.

31.03.2013, 23:35

dgl15

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Hier die kettenregel .
Als datei.
Aber ich komme nicht auf meinen Fehler.

31.03.2013, 23:40

Che Netzer

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In diesem Fall ist $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ das Potenzieren mit $\begin{eqnarray*} -3 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ .
Statt $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ schreiben wir $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ .
Was ist nun $\begin{eqnarray*} u'(v(x_0)) \end{eqnarray*}$ in unserem Fall? Und was ist $\begin{eqnarray*} v'(x_0) \end{eqnarray*}$ ?

31.03.2013, 23:44

dgl15

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Kommt das raus:

-3*(y*(x))*y*1

Richtig?

31.03.2013, 23:52

dgl15

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Ich glaube so müsste es lauten oder:

y(x)* (x)
Richtig?

31.03.2013, 23:56

Che Netzer

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Zitat:

Original von Che Netzer
In diesem Fall ist $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ das Potenzieren mit $\begin{eqnarray*} -3 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ .
Statt $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ schreiben wir $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ .
Was ist nun $\begin{eqnarray*} u'(v(x_0)) \end{eqnarray*}$ in unserem Fall? Und was ist $\begin{eqnarray*} v'(x_0) \end{eqnarray*}$ ?

Bezieh dich doch bitte auf meine Fragen, anstatt hier irgendwelche wilde Raterei zu betreiben.

31.03.2013, 23:56

Math1986

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Ich schließe hier. Ich habe mir das Thema nun lange genug angesehen.

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