Vektor - Lage der Geraden

01.04.2013, 16:22

Tipso

Auf diesen Beitrag antworten »

Vektor - Lage der Geraden

Hallo,

Erläutern Sie die relative Lage der Geraden g (durch P und Q) und der Ebene $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ . Berechnen Sie Abstand bzw. Schnittpunkte und Schnittwinkel.

$\begin{eqnarray*} g: P\left(2| 0 |-5 \right), Q \left(8| 2 | -2\right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \epsilon: 3x + 12y-4z = 4 \end{eqnarray*}$

Vorgehensweise:

Ich stelle die Gerade auf.
Ich nehme dafür P als Ortsvektor und Q-P als der Vektor von der Geraden.
Nun ist die Frage wie die Gerade zur Ebenen steht?
Sie können sich schneiden, parallel sein oder die Gerade kann in der Ebenen liegen.

Gerade:
$\begin{eqnarray*} g: \begin{pmatrix} x_g \\ y_g \\z_g \end{pmatrix}= P+t(Q-P) = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\-5 \end{pmatrix} +t\left( \begin{pmatrix} 8 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\-5 \end{pmatrix} \right)= \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\-5 \end{pmatrix} + t\begin{pmatrix} 6 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Nun setze ich die x, y, z Werte in die Ebenengleichung ein um mögliche Schnittpunkte zu erhalten.

Was wenn x, y, z = 0 wäre?
Wenn einer davon 0 wäre?

lg

01.04.2013, 16:34

Tipso

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Vektor - Lage der Geraden
$\begin{eqnarray*} \epsilon: 3(2+t6) + 12(t2)-4(-5+t3) = 4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 6 + 18t + 24t + 20 + 12t = 4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 54t= - 22 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} t = -\frac{22}{54} \end{eqnarray*}$

Schnittpunkt ist demnach:

$\begin{eqnarray*} g: \begin{pmatrix} x_g \\ y_g \\z_g \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\-5 \end{pmatrix} + -\frac{22}{54}\begin{pmatrix} 6 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} -0,44 \\ -0,81 \\ -6,22 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Soweit richtig?

Ich berechne nun t aus, t sagt mir ob diese einen Schnittpunkt haben und wo dieser liegt.

Nächster Schritt:

Schnittwinkel
Abstand
Schnittpunkte ( wann habe ich mehrere Schnittpunkte, wenn die Geraden in der Ebenen liegt?)

01.04.2013, 18:40

Tipso

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich berechne mir 3 Punkte der Ebene aus.

a.
1. Punkt nehme ich als Stützvektor.
2. Richtungsvektoren erstellen.

Damit erhalte ich die Ebenengleichung in Parameterform.

$\begin{eqnarray*} \epsilon: 3x + 12y-4z = 4 \end{eqnarray*}$

Ich stelle hier auf eine Variable um und wähle 2 Variablen beliebig im Verhältnis zur dritten Variable, diese Punkte müssen meine Ebenengleichung erfüllen.

$\begin{eqnarray*} z = \frac{3}{4} x + 3y -4 \end{eqnarray*}$

1. P.
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
2. P.
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
3. P.
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -4 \end{pmatrix} + r\begin{pmatrix} 0 \\1 \\ 3 \end{pmatrix} + s\begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 4\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Probe durch Skalarprodukt Richtungsvektor * Normalvektor = 0

Sie dürfen dabei kein vielfaches voneinander sein und mit dem Normalvektor der Ebene ein Skalarprodukt von 0 bilden.
Woher erkenne ich dies?

Wie schreibe ich die Ebenengleichung richtig an?

$\begin{eqnarray*} \vec{x} = ? \end{eqnarray*}$
-----------------------------------------------------------------------------------------------

Wie geht es nun weiter?

Ich kann nun den Normalvektor der Ebene von der koordinatenform ablesen oder durch das kreuzprodukt zweier Richtungsvektoren bilden?

lg

01.04.2013, 19:38

opi

Auf diesen Beitrag antworten »

Och Mensch, Tipso.

Da stehen jetzt wieder drei Beiträge nacheinander, jeder einzelne mehrfach editiert und in jedem wird ~~eine neue Sau durchs Dorf getrieben~~ ein neuer Sachverhalt angesprochen. Das kann doch nichts werden. unglücklich

unglücklich

Du hast eine Geradengleichung aufgestellt und diese in die Ebenengleichung eingesetzt. Hier steckt allerdings ein Vorzeichenfehler: $\begin{eqnarray*} 6 + 18t + 24t + 20 {\color{red}+} 12t = 4 \end{eqnarray*}$
Warum möchtest Du im dritten Beitrag eine Ebenengleichung erneut aufstellen?
Deine Umformung dort stimmt nicht, setze doch einmal die berechneten Punkte in die ursprüngliche Ebenengleichung ein.

01.04.2013, 19:40

Dopap

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Vektor - Lage der Geraden
$\begin{eqnarray*} \epsilon: 3(2+t6) + 12(t2)-4(-5+t3) = 4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 6 + 18t + 24t + 20 {\color{red}-} 12t = 4 \end{eqnarray*}$

"kleiner" Vorzeichenfehler. Trotzdem genau ein Schnittpunkt.

--------------------------------------------------------------

Es bleibt demnach nur noch der Schnittwinkel übrig.

Und was rechnest du da weiter ???

Anscheinend willt du den Normalenvektor der Ebenen berechnen.
Den kann man aber aus der Koordinatenform direkt ablesen

01.04.2013, 20:12

Tipso

Auf diesen Beitrag antworten »

hi,

Ich berechne den normalvektor der zu den beiden spannvektoren normal steht.

Ich brauche den Schnittwinkel und den Abstand.

Ps.
Spätestens in 45 Tagen seit ihr mich los, werde sicher noch dem Forum erhalten bleiben aber es wird sehr viel weniger Fragen geben.

Anzeige

01.04.2013, 20:17

Tipso

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von opi

Warum möchtest Du im dritten Beitrag eine Ebenengleichung erneut aufstellen?
Deine Umformung dort stimmt nicht, setze doch einmal die berechneten Punkte in die ursprüngliche Ebenengleichung ein.

$\begin{eqnarray*} \epsilon: 3x + 12y-4z = 4 \end{eqnarray*}$

Wenn ich sie hier einsetze, stimmen sie:

$\begin{eqnarray*} z = \frac{3}{4} x + 3y -4 \end{eqnarray*}$

Edit:
Ich habe meinen Fehler gefunden. Ich habe z falsch umgeformt, deshalb stimmen die Punkte nicht.

Original von opi

Zitat:

Warum möchtest Du im dritten Beitrag eine Ebenengleichung erneut aufstellen?

Ich stelle sie in der Parameterform dar. Wieso weiß ich jetzt selber nicht genau, ich habe das Schema so gelernt.

01.04.2013, 20:28

Dopap

Auf diesen Beitrag antworten »

deine Ebene lautet:

$\begin{eqnarray*} 3x+12y-4z=4 \end{eqnarray*}$

woraus sich der Normalenvektor $\begin{eqnarray*} \vec n = \begin{pmatrix} 3 \\ 12 \\ -4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

ablesen lässt !!

01.04.2013, 20:28

opi

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich nehme es mit Humor, anders geht es nicht. smile

smile

Du brauchst keinen Abstand zu berechnen. Die Ebene wird von der Geraden geschnitten, im Schnittpunkt existiert der Abstand Null. Bei der Abstandsberechnung nimmt man immer den kürzesten Abstand und weniger als Null geht nicht.

Daß man den Normalenvektor direkt aus der Koordinatengleichung ablesen kann, hat Dopap bereits geschrieben. Bitte Beiträge auch lesen.

Wenn Du die falschen Punkte in die falsche Umformung (hatte ich bereits geschrieben) einsetzt, stimmen sie eventuell. Das kümmert aber keinen.

P.S. Falls bei Deiner Prüfung auch das Fach Deutsch vorkommt:

[attach]29359[/attach]
Quelle: http://www.seidseit.de/

Augenzwinkern

Augenzwinkern

01.04.2013, 20:36

Tipso

Auf diesen Beitrag antworten »

soweit danke.

Wie berechne ich den Schnittwinkel bzw. was sagt mir dieser?

Formel:

$\begin{eqnarray*} sin^{-1} = \frac{| \vec{n}*\vec{r} | }{| \vec{n}| *| \vec{r} | } \end{eqnarray*}$

Warum brauche ich im Zähler einen Betrag?
Nehmen wir an, sie würden sich nicht schneiden, wie würde ich weiter vorgehen?

01.04.2013, 20:42

Tipso

Auf diesen Beitrag antworten »

Nun zur Berechnung von dieser.

$\begin{eqnarray*} \vec n = \begin{pmatrix} 3 \\ 12 \\ -4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wenn ich drei Punkte der Ebenen berechne und aus zwei Richtungsvektoren und dessen kreuzprodukt den Normalvektor erhalte, ist dieser gleich wie dieser?
Es gibt ja unendlich viele Normalvektoren der Ebene.

Richtungsvektor der Geraden:

$\begin{eqnarray*} \vec r \begin{pmatrix} 6 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} sin^{-1} = \frac{30}{91} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} sin = 19,25° \end{eqnarray*}$

Was sagt mir dieser nun?

01.04.2013, 20:45

opi

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich warte mit einer Antwort zunächst ab, bis Du alle Beiträge gepostet oder Dopap auch etwas geschrieben hat. Sonst wird's mir hier zu durcheinander.

01.04.2013, 20:55

Dopap

Auf diesen Beitrag antworten »

ja. das ist ne Formel. würde ich aber nicht verwenden, und schon gar nicht lernen.

Zwischen dem Richtungsvektor der Geraden und dem Normalenvektor kann man mit dem Skalarprodukt

bekanntermassen den Winkel bestimmen. Das ist doch altes Zeug.

Fragen nach "warum Betrag im Nenner" erübrigen sich dann.

Für den gesuchten Winkel nimmt man dann den Ergänzungswinkel zu 90°.

01.04.2013, 21:05

Tipso

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} \vec n *\vec r \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3 \\ 12 \\ -4 \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} 6 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}=30 \end{eqnarray*}$

verwirrt

verwirrt

$\begin{eqnarray*} sin^{-1} 30 = Error \end{eqnarray*}$

01.04.2013, 21:14

Dopap

Auf diesen Beitrag antworten »

Eine Formel, die man wissen muss ist die Def des Skalarproduktes:

$\begin{eqnarray*} \vec a \bullet \vec b= |\vec a ||\vec b| \cos (\alpha) \end{eqnarray*}$

damit lässt sich $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ bestimmen und dann auch der Ergänzungswinkel...

01.04.2013, 21:26

Tipso

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich sehe bei dieser Formel kaum einen Unterschied zu der Formel von mir, außer das kein Betrag vom Zähler genommen wird.

Dafür erhalte ich den Cos statt dem Sin.

$\begin{eqnarray*} \cos (\alpha) = \frac{30}{91} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \alpha = \cos^{-1}\frac{30}{91} = 70,75 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 90° - 70,75° = 19,25° \end{eqnarray*}$

Geometrisch habe ich es nicht ganz überrissen.
Das Ergebnis ist ident, mit dem Ergebnis von vorhin.

Dieser Winkel sagt mir, den Winkel zwischen der Geraden und der Ebene.

01.04.2013, 21:41

Dopap

Auf diesen Beitrag antworten »

na also, so stimmt doch alles.
Das mit dem Betrag im Zähler darfst du nicht so eng sehen.

In Trigonometrie musst du letztendlich selbst entscheiden welche Winkel gelten sollen.
Hier ist sinnigerweise ein Winkel zwischen Null und 90 gesucht. Aber auch der Ergänzungswinkel zu 180° wäre nicht falsch.

01.04.2013, 21:45

Tipso

Auf diesen Beitrag antworten »

Was würden wir machen, wenn diese parallel sind?
Wie erhalten wir diese und wie berechnen wir dessen Abstand?

Windschief geht ja nicht. Freude

Freude

Ps.
Die Aufgabe ist ansonsten soweit ich es verstanden habe erledigt.

lg

01.04.2013, 22:11

Dopap

Auf diesen Beitrag antworten »

die Frage die sich stellt ist: Hast du eine

Vorstellung

davon was die Objekte sind mit denen wir umgehen. Ich habe schon zig Schüler mit einem Besenstiel als Normalenvektor in die Ecke des Raume geschickt um zu verdeudlichen was gemeint ist. Kann ich dir nur empfehlen Augenzwinkern

Augenzwinkern

Aber zur Frage: Alles in analytischer Geometrie beruht auf Grundtechniken die man kennen muss. So auch hier:
Der Abstand einer zur Ebenen parallelen Geraden ist nun leider nirgends beschrieben.
Lösung: Man nimmt irgendeinen Punkt der Geraden und bestimmt dessen Abstand...

und dieses Problem gehört zu den Grundtechniken:

Hessesche Normalenform der Ebene + eingesetzter Punkt = Abstand

01.04.2013, 22:20

Tipso

Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

Ich habe eine Vorstellung von den Objekten. Freude

Freude

Zitat:

ist nun leider nirgends beschrieben.

verwirrt

Hessesche Normalenform der Ebene

Bei 2 Ebenen?
Bei 2 Geraden = 2 Punkte - Spitze minus Schaft und der Betrag von dem Vektor.

Bei Ebene + Gerade = Hessesche Normalenform der Ebene + Punkt der Geraden.

lg

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »