Abgeschlossenheit bei Menge der natürlichen Zahlen

01.04.2013, 17:11

lagrange92

Abgeschlossenheit bei Menge der natürlichen Zahlen

Meine Frage:
Kann man sagen die Menge der natürlichen Zahlen ist abgeschlossen, weil die Menge der Häufungspunkte (HP) der Menge die leere Menge ist, also keine HP existieren und $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ somit alle seine HP enthält?

Meine Ideen:
-

01.04.2013, 18:27

lgrizu

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RE: Natürliche Zahlen
Ich verstehe nicht, was du meinst....

Meinst du, dass die Menge IN abgeschlossen ist bezüglich einer Topologie (und wenn dann welcher?) oder abgeschlossen unter einer bestimmten Verknüpfung?

02.04.2013, 19:46

lagrange92

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RE: Natürliche Zahlen
Ich meinte das im Sinne einer topologischen Betrachtung bei der eine Menge abgeschlossen ist, wenn sie alle ihre Häfungspunkte enthält.

02.04.2013, 20:25

Che Netzer

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RE: Natürliche Zahlen
Wenn du auf $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ eine Topologie definierst, dann ist $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ grundsätzlich abgeschlossen.
Oder möchtest du einen anderen topologischen Raum betrachten, der $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ enthält?

Dann brauchst du zunächst eine Grundmenge wie $\begin{eqnarray*} \mathbb Z \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ . Anschließend musst du darauf eine Topologie definieren.
Vorher kannst du dich nicht (sinnvoll) fragen, ob $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ abgeschlossen ist.

03.04.2013, 11:19

lagrange92

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RE: Natürliche Zahlen
Die Basis der Topologie war bei uns $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ .

03.04.2013, 12:03

Che Netzer

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RE: Natürliche Zahlen
Basis? Den Grundraum meinst du wohl.
Und welche Topologie benutzt ihr auf $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ ?

03.04.2013, 12:13

RavenOnJ

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In der Standardtopologie von $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ sind die offenen(sic!) Intervalle $\begin{eqnarray*} (n,n+1),n\in \mathbb N \end{eqnarray*}$ offen, die abzählbare Vereinigung aller dieser offenen Intervalle zwischen zwei benachbarten natürlichen Zahlen, sowie $\begin{eqnarray*} (-\infty,0) \end{eqnarray*}$ , d.h.

$\begin{eqnarray*} A = (-\infty,0)\cup\bigcup_{n\in\mathbb N}(n,n+1) \end{eqnarray*}$

damit ebenfalls offen. Das Komplement dieser Menge $\begin{eqnarray*} \mathbb R\setminus A \end{eqnarray*}$ sind die natürlichen Zahlen, deren Menge damit abgeschlossen ist.

Edit: Habe gerade nochmal gelesen, worum es dir eigentlich ging: Abgeschlossenheit, da die Menge $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ alle Häufungspunkte enthält. Wenn du damit die Häufungspunkte von Folgen in $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ meinst, dann ist das so. Deine Argumentation verstehe ich allerdings nicht.

Man könnte so argumentieren: Alle Häufungspunkte von Folgen natürlicher Zahlen sind ebenfalls natürliche Zahlen. Die Menge $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ enthält also alle ihre Folgenhäufungspunkte, womit sie abgeschlossen ist.

04.04.2013, 11:35

lagrange92

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Ich meinte den Häufungspunkt einer Menge a, also, dass jede Umgebung U(a) ein von a verschiedenes Element enthält, also $\begin{eqnarray*} U \cap D \neq \emptyset \end{eqnarray*}$ . Somit ist wenn man $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ betrachtet doch aber gerade der Fall, dass da eine Umgebung nur Umgebung eines Punktes ist, wenn die $\begin{eqnarray*} U_{\epsilon}(a) \subset U(a) \end{eqnarray*}$ . Mann kann bei den natürlichen Zahlen diesen Zusatnd aber nicht für jede Epsilonumgebung erreichen und somit ist die Menge der Häufungspunkte der Menge die Leeremenge und $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ enthält daher alle Häufungspunkte und ist deshalb abgeschlossen, so hatte ich mir das gedacht.

04.04.2013, 11:46

Che Netzer

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Zitat:

Original von lagrange92
Ich meinte den Häufungspunkt einer Menge a, also, dass jede Umgebung U(a)

Da ist die Frage, was für dich eine Umgebung ist. Und das hängt gerade davon ab, welche Topologie du betrachtest.
Wenn du die Standardtopologie betrachtest, scheint deine Argumentation in die richtige Richtung zu gehen (besonders die aus dem Ursprungsbeitrag).
Es gibt aber auch Topologien, in denen $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ nicht abgeschlossen in $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ ist. Andererseits gibt es Topologien auf $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ , in denen $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ sogar kompakt ist.

04.04.2013, 12:02

lagrange92

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Eine Menge $\begin{eqnarray*} U \subset \mathbb R \end{eqnarray*}$ heißt Umgebung von x, wenn sie die $\begin{eqnarray*} U_{\epsilon}(x) \end{eqnarray*}$ für ein passendes $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ enthält.

04.04.2013, 12:04

Che Netzer

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Und $\begin{eqnarray*} U_\varepsilon(x) \end{eqnarray*}$ wurde wohl über den Betrag definiert.
Ja, das ist die Standardtopologie.

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