Orthonormalisierung

01.04.2013, 15:55	Hantel	Auf diesen Beitrag antworten »
Orthonormalisierung Guten Abend, ich soll in einer Klausuraufgabe aus den Vektoren der Standardbasis eine Orthonormalbasis konstruieren, das innere Produkt ist wie folgt definiert: $\begin{eqnarray} <v,w> := v^t \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 1 & 3 & -1 \\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix} w, \, \, v,w \in \mathbb{R}^3 \end{eqnarray}$ --------------------------- Ich lege gleich mal los, und normiere mit dem obig Gegebenen: $\begin{eqnarray} <\tilde{v}_1, \tilde{v}_2> = (1,0,0) \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 1 & 3 & -1 \\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = (1,0,0) \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} = 2 \Rightarrow \hat{v}_1 = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \tilde{v}_2 = \hat{e}_2 - <\hat{v}_1 , \hat{e}_2 > \hat{v}_1 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} - < \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} > \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} - \frac{1}{2} ( \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} (1,3,-1) ) \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} \\ 0 \end{pmatrix}, \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \hat{v}_2 = \frac{\tilde{v}_2}{\sqrt{<\tilde{v}_2 , \tilde{v}_2>}} = \frac{\tilde{v}_2}{\sqrt{(-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 0)(-\frac{1}{2}, 1, -\frac{1}{2})^t}} = \frac{\tilde{v}_2}{\sqrt{\frac{1}{4} + \frac{1}{2}}} \Rightarrow \hat{v}_2 = \frac{2}{\sqrt{3}} \begin{pmatrix} -\frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} \\ 0 \end{pmatrix}, \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} <\hat{v}_1 , \hat{v}_2> = (\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} ) (1,0,0) \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 1 & 3 & -1 \\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} - \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} \\ 0 \end{pmatrix} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \cdot (1,0,0) \begin{pmatrix} - \frac{1}{2} \\ 1 \\ - \frac{1}{2} \end{pmatrix} \neq 0. \end{eqnarray}$ Hier steht jetzt eine ganze Menge, es beirrt mich aber vor allem die letzte Zeile. Das innere Produkt, hier zwar etwas modifiziert definiert, müsste doch trotzdem die beiden orthogonalisierten Vektoren mit 0 wieder ausspucken. Wo ist der Fehler?
01.04.2013, 16:24	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Orthonormalisierung Deine zweite Komponente von $\begin{eqnarray} \tilde v_2 \end{eqnarray}$ ist falsch, die müsste Eins sein.
01.04.2013, 18:34	Hantel	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Orthonormalisierung Jawoll, Danke dir! $\begin{eqnarray} \hat{v}_2 = \frac{2}{5} \begin{pmatrix} -\frac{1}{2} \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \tilde{v}_3 = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} - < \tilde{v}_3 , \hat{v}_1 > \hat{v}_1 - < \tilde{v}_3 , \hat{v}_2 > \hat{v}_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} - \frac{4}{25} (0,0,1) \begin{pmatrix} 0 \\ \frac{5}{2} \\ -1 \end{pmatrix} \hat{v}_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} - (0,0,1) \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} \frac{2}{25} \\ - \frac{4}{25} \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{2}{25} \\ - \frac{4}{25} \\ 1 \end{pmatrix} \Rightarrow \hat{v}_3 = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{13}} \begin{pmatrix} \frac{2}{25} \\ - \frac{4}{25} \\ 1 \end{pmatrix} . \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} < \hat{v}_1 , \hat{v}_3 > = 0; < \hat{v}_3, \hat{v}_2 > = (\frac{2}{5}\cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{13}}) (\frac{2}{25}, - \frac{4}{25}, 1) \begin{pmatrix} 0 \\ \frac{5}{2} \\ -1 \end{pmatrix} \neq 0. \end{eqnarray}$ Was habe ich dieses Mal übersehen?

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