Herleitung der Poisson-Verteilung

01.04.2013, 18:20	MelinaM	Auf diesen Beitrag antworten »
Herleitung der Poisson-Verteilung Meine Frage: Hallo alle zusammen. Ich habe ein Proble. Für ein Referat muss ich die Poisson-Verteilung herleiten. Dazu benutze ich die Binomialverteilung. Es geht mir nur um das erste Teilstück der Binomialverteilung (n über k), das umgeformt werden soll zu n^k/k! Meine Ideen: \frac{n!}{(n-k)!k!} p^{k}(1-p)^{n-k} Nun forme ich das erste Teilstück (n über k)um bzw. schreibe es ausführlich: \frac{an(n-1)(n-2)...(n-k+1)(n-k)(n-k-1)...21}{k!(n-k)(n-k-1)(n-k-2)...21} Durch kürzen erhalte ich: \frac{n(n-1)(n-2)...(n-k+2)*(n-k+1)}{k!} Anscheinend kann man den Zähler angenähert auch so schreiben: n^k Nun meine Frage: wie kommt das? Denn im Zähler sind ja nicht insgesamt k Elemente, sondern (n-k) Elemente. Müsste es nicht heißen n^n-k?
01.04.2013, 18:30	Kasen75	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Herleitung der Poisson-Verteilung Hallo, bei der Herleitung wird ja $\begin{eqnarray} n \to \infty \end{eqnarray}$ angenommen. Somit spielen das, was von n abgezogen wird, bei den jeweiligen Faktoren, eine so untergeordnete Rolle, dass man es vernachlässigen kann. Ist z.B. $\begin{eqnarray} n=100.000.000 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} k=5 \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} k-1=4 \end{eqnarray}$ , dann steht da: $\begin{eqnarray} 100.000.000 \cdot (100.000.000-1) \cdot (100.000.000-2) \cdot (100.000.000-3) \cdot (100.000.000-4) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =9.99999900 × 10^{39} \end{eqnarray}$ Ohne die k´s wäre es einfach: $\begin{eqnarray} 100.000.000^5=10^{40} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =10000000000000000000000000000000000000000 \end{eqnarray}$ Man sieht, dass die k´s bei den Faktoren einen minimalen Einfluss auf das Ergebnis haben. Und der Wert für n ist jetzt noch "weit weg" von unendlich. Geht n gegen unendlich spielt k keinerelevante Rolle mehr. Grüße.
01.04.2013, 20:06	MelinaM	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für die schnelle Antwort!! Mir ist klar, dass z.B. n-k angenähert n ist, da k verschwindend klein wird, wennn n gegen unendlich geht. Aber wieso erklärt dies nun, dass der lange Term als n^k zusammengefasst werden kann? Liebe Grüße
01.04.2013, 20:46	Kasen75	Auf diesen Beitrag antworten »
Bei meinem kleinen Zahlenbeispiel war k=5 $\begin{eqnarray} 100.000.000 \cdot (100.000.000-1) \cdot (100.000.000-2) \cdot (100.000.000-3) \cdot (100.000.000-4) \end{eqnarray}$ Und es sind immer k Faktoren. Aus folgendem Grund. Es wird von n immer 1 mehr abgezogen als beim vorherigen Faktor. Aber es geht nur solange bis k-1 =4 ist, da k=5 ist. Der Wert bzw. Ausdruck, der von n abgezogen wird. Erster Faktor:0 Zweiter Faktor: 1 Dritter Faktor: 2 Vierter Faktor:3 Fünfter Faktor:4=k-1 Bei k-1 geht es nicht mehr weiter. Es sind also ingesamt 5 Faktoren, wenn k=5 ist. Wichtig für das Verständnis: Wenn aber k-1 abgezogen wird, folgt daraus: $\begin{eqnarray} -(k-1)=-k+1 \end{eqnarray}$ Deswegen steht beim letzten Summand in der Formel $\begin{eqnarray} n-k+1 \end{eqnarray}$ Mit Klammer würde $\begin{eqnarray} n-(k-1) \end{eqnarray}$ dastehen. Vernachlässigt man k als Bestandteil des Faktors ergibt sich: $\begin{eqnarray} n \cdot n \cdot n \cdot n \cdot n =n^5=n^k \end{eqnarray}$
01.04.2013, 21:18	MelinaM	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke danke danke!!!
01.04.2013, 21:32	Kasen75	Auf diesen Beitrag antworten »
Gerne.
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