Schneiden von zwei Geraden

01.04.2013, 22:16

Tipso

Schneiden von zwei Geraden

Berechnen Sie die Lage der Geraden g (durch P_1 und P_2) und h (durch Q_1 und Q_2)

g: P_1 (2 | 0 | -1), P_2(4 | 2 | -5)
h: Q_1 (0 | -2 | 3), Q_2(1 | -1 | 5)
Berechnen Sie Abstand bzw. Schnittpunkt und Schnittwinkel.

Vorgehensweise:
1.
Ich stelle die Geraden auf.
2.
a.
Sind die Geraden parallel?
Erfahre ich, indem ich schaue, ob der Richtungsv. Von einer Geraden das Vielfache von dem anderen ist.

b.
Wenn dies nicht der Fall ist, setze ich die Geraden gleich und sehe ob die Gleichung ein Ergebnis hat.
Ja = Sie schneiden sich, also haben sie einen Schnittpunkt, den ich durch das Einsetzen von einem Parameter in eine Gerade erhalte.
Erhalte ich keine Lösung, sind sie windschief.
$\begin{eqnarray*} g: X = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} + s\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ -4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} h:X = \begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix} + t\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Die Richtungsvektoren sind jeweils:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ -4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Sind diese ein Vielfaches voneinander?
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ -4 \end{pmatrix} = k\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Nein, wäre der z-Wert 4, würde dies zustimmen.
Also müssen sie sich schneiden oder sie sind Windschief.

Schnittpunkt ermitteln wir, indem wir beide Gleichungen gleichsetzen und schauen ob die letzte Variable ein richtiges Ergebnis hat.

2+s2 = t
2s=-2+t
-1+(-4s) = 3+t2
------------------------------- Ich forme um
2s – t = -2
2s – t = -2
-4s + 2t = 4
Gleichung 1 + 2 = 4s = -4; s = -1
Darf ich dieses s nun in jede der drei Gleichungen einsetzen?
Ich setze sie in die 3 Gleichung ein und erhalte t = 0.
Beide Werte setze ich nun in die erste Gleichung ein.

2*-1 = -2
Dies stimmt.
Somit habe ich einen Schnittpunkt.
$\begin{eqnarray*} h:X = \begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix} + 0\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} = = \begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Schnittwinkel erhalte ich, indem ich das Skalarprodukt der beiden Richtungsvektoren bilde und durch die Längen dividiere.

$\begin{eqnarray*} cos^{-1} = \frac{-4}{13,86} = 106,77° \end{eqnarray*}$
Wie würde ich den Abstand berechnen, wenn die Geraden windschief oder parallel sind?

lg

02.04.2013, 21:50

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Vektor - Schneiden von zwei Geraden

Zitat:

Original von Tipso
------------------------------- Ich forme um
2s – t = -2
2s – t = -2
-4s + 2t = 4

Gleichung 1 + 2 = 4s = -4; s = -1

Ich kann den Schritt nicht nachvollziehen. Alle 3 Gleichungen des Gleichungssystems sind identisch.
Wenn du Gleichung 1 + 2 rechnest erhälst du: $\begin{eqnarray*} 4s-2t=-4 \end{eqnarray*}$ und nicht $\begin{eqnarray*} 4s=-4 \end{eqnarray*}$ .

Der Schnittpunkt ist richtig. Ich kanns nur grad nicht nachvollziehen.

Der Schnittwinkel ist falsch. Wenn nach dem Schnittwinkel gefragt ist, ist immer nach dem kleineren Winkel gefragt. Dein Winkel ist größer als 90° das kann schonmal nicht sein.

Aber auch dein größerer Winkel ist falsch. Überprüfe nochmal das Produkt aus den Beträgen der Richtungsvektoren.

02.04.2013, 23:14

Dopap

Auf diesen Beitrag antworten »

... und schreib lieber:

$\begin{eqnarray*} \cos(\alpha)=\frac {-4}{13,84} \Rightarrow \alpha=... \end{eqnarray*}$

oder wenn schon, dann

$\begin{eqnarray*} \alpha=\arccos(\tfrac {-4}{13,84})=... \end{eqnarray*}$

02.04.2013, 23:18

Tipso

Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,
Edit:
Habe meine Angaben verbessert.

Ich gehe ja schematisch vor.

Aber du hast Recht, man sieht eigentlich, dass alle Gleichungen gleich sind also äquivalent, also gibt es auf jeden Fall einen Schnittpunkt.

Ich habe die Gleichung 1 mit der 2 addiert um t wegzubekommen.

erneuter Versuch:

Zitat:

a.
2s – t = -2
b.
2s – t = -2
c.
-4s + 2t = 4

Ich verstehe es hier nicht. Es geht nicht weiter ... verwirrt

Egal wie ich es umstelle, ich verliere beide Variablen.

Habe wohl die falschen Richtungsv. genommen?
Es gibt unendlich viele Lösungen?

Die Geraden sind also ident?

Aber dann müssten doch die Normalv. auch gleich bzw. ein Vielfaches voneinander sein.

lg

Edit:
@Dopap
Freude

@Yu

Woher wusstest du, dass mein Schnittpunkt richtig ist?

02.04.2013, 23:42

mYthos

Auf diesen Beitrag antworten »

Richtig ist, dass die ersten beiden Gleichungen identisch sind.
Jedoch ist die Gleichung c) falsch (Vorzeichenfehler!). Sie muss lauten

$\begin{eqnarray*} - 4s \color{red}- \color{black} 2t = 4 \end{eqnarray*}$

Nun gibt es eine eindeutige Lösung.

mY+

02.04.2013, 23:46

Dopap

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Vektor - Schneiden von zwei Geraden

Zitat:

Original von Tipso

2+s2 = t
2s=-2+t
-1+(-4s) = 3+t2
------------------------------- Ich forme um
2s – t = -2
2s – t = -2
-4s - 2t = 4

Vorzeichenfehler !

02.04.2013, 23:51

Tipso

Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt ist sie natürlich lösbar.

Interessant wäre hier aber, was wenn die vorherige Gleichung richtig wäre.

Was würde diese besagen?

Sie würde doch besagen, es gibt unendlich viele Lösungen, also sind die Geraden ident bzw. Parallel.

Bei Geraden gibt es keinen großen Unterschied zwischen ident und parallel.
verwirrt

03.04.2013, 00:01

Tipso

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für den Tipp. smile

Berechnung:

Zitat:

2+s2 = t
2s=-2+t
-1+(-4s) = 3+t2
------------------------------- Ich forme um
a.
2s – t = -2
b.
2s – t = -2 *2
c.
-4s - 2t = 4

b + c = -4t = 0, t = 0 (Beistrich, hier gehört eigentlich ein Pfeil, daraus folgt t = 0)

Eingesetzt in b.

s = -1

Beide eingesetzt in eine der Gleichungen und schauen ob diese ein wahres Ergebnis bringt. Es muss bei allen dreien ein wahres Ergebnis bringen.
Dann haben wir den Schnittpunkt.

Jetzt die Variable in die Gerade, zu der sie gehört einsetzen um die Schnittgerade zu ermitteln.

$\begin{eqnarray*} S_g:X = \begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix} + 0\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Dies ist meine Schnittgerade, oder:

$\begin{eqnarray*} S_g2: X = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} + -1\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ -4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

sehen aber recht verschieden aus. verwirrt

edit:
passt doch. Hammer

03.04.2013, 01:27

mYthos

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich möchte jetzt gerne noch den Schnittpunkt sehen. Diesen hast du noch nicht angegeben.

03.04.2013, 01:30

mYthos

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Tipso
...
Bei Geraden gibt es keinen großen Unterschied zwischen ident und parallel.
verwirrt

So? Da bin ich aber anderer Meinung.
Auf parallelen Geraden liegt kein einziger Punkt der einen Geraden auf der anderen.
Und wie ist das bei identischen Geraden?

03.04.2013, 01:44

Tipso

Auf diesen Beitrag antworten »

Es gibt nur einen Schnittpunkt oder unendliche.
Im zweiten Fall wären sie identisch.

Wir haben aber einen Schnittpunkt.

$\begin{eqnarray*} S_g:X = \begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix} + 0\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} S_g:X =\begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
.........................................................................................

bei der identischen habe ich unendlich viele Lösungen.
Weiß jetzt nicht wie diese rechnerisch aussieht aber graphisch sind es zwei gleiche Geraden.
.........................................................................................

Zuletzt muss ich mich noch an den Winkel wagen und um die Frage, wie ich bei Geraden den Abstand berechne, wenn diese Parallel oder Windschief sind.

03.04.2013, 01:50

mYthos

Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, nur zu.
Schreibe aber bitte neue Aufgaben (auch die mit den beiden Ebenen, deren Schnittgerade zu berechnen ist) in neue Threads, diese hier sind ohnehin schon ellenlang.

mY+

03.04.2013, 02:05

Tipso

Auf diesen Beitrag antworten »

Alles klar, dann belasse ich diese für heute und werde Morgen dafür neue Threads öffnen.

lg
Freude

Neue Frage »

Antworten »

Schneiden von zwei Geraden

Verwandte Themen