Partielles Ableiten

01.04.2013, 23:22

kgV

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Partielles Ableiten

Hallo,
eine kleine Frage zum partiellen Differenzieren.
Mir ist klar, wie ich partiell ableite, und dass dabei mehrere Partielle Ableitungen rauskommen. Was mich interessieren würde: ist es möglich, alle partiellen Ableitungen in einer Funktion zusammenzufassen? Tendenziell glaube ich das eher nicht, weil im Dreidimensionalen die Richtungen relativ sind, es also viele "Standpunkte" gibt. Aber sicher bin ich mir da nicht... deshalb die Frage

Dank im Voraus
Lg
kgV
Wink

Wink

02.04.2013, 00:05

Venus²

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Hallo kgV

Augenzwinkern

,

ich bin mir nicht ganz sicher, worauf du hinauswillst. Aber nach deinem Beitrag würde ich dir empfehlen, mal die "Totale Differenzierbarkeit" zu googlen.

Liebe Grüße

02.04.2013, 00:22

kgV

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Hab mal ein wenig geschnüffelt...
$\begin{eqnarray*} f(x,y)=x^2+y^2\rightarrow f'(x,y)=\frac{\partial f}{\partial x}dx+\frac{\partial f}{\partial y}dy=2x dx+2y dy \end{eqnarray*}$
Will heißen, Partielle Ableitung nach x plus partielle Ableitung nach y ergibt das totale Differential.
Ist das jetzt die "Ableitungsfunktion"?
Und: warum dx und dy?

edit: das dann aber morgen. Gute Nacht Schläfer

Schläfer

02.04.2013, 13:46

Venus²

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Anstatt $\begin{eqnarray*} f'(x,y) \end{eqnarray*}$ muss es $\begin{eqnarray*} df \end{eqnarray*}$ heißen:

$\begin{eqnarray*} df=\frac{\partial f}{\partial x}dx+\frac{\partial f}{\partial y}dy \end{eqnarray*}$

Dabei ist $\begin{eqnarray*} df \end{eqnarray*}$ das totale Differential. Diese Formel gilt für reellwertige Funktionen $\begin{eqnarray*} f:\mathbb R^n \rightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$ (hier n=2).

Das totale Differential kann man als verallgemeinerte Ableitung interpretieren und ist eine lineare Abbildung. Es ordnet für jeden Punkt $\begin{eqnarray*} p \in \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ jedem Vektor $\begin{eqnarray*} v \in \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} t \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ die Ableitung in dessen Richtung (Richtungsableitung) $\begin{eqnarray*} \frac{\partial f}{\partial v}(p) \end{eqnarray*}$ zu:

$\begin{eqnarray*} df(p):\mathbb R^n \rightarrow \mathbb R , v \mapsto \frac{\partial f}{\partial v}(p)=\frac{d}{dt} f(p+tv)\bigg |_{t=0}=\lim_{t \to 0}\frac{f(p+tv)-f(p)}{t|v|}=\sum\limits_{k=1}^n \frac{\partial f}{\partial x_i}(p)v_i \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} v_i \end{eqnarray*}$ entspricht hier $\begin{eqnarray*} dx_i \end{eqnarray*}$ .

Für n=1 erhälst du mit $\begin{eqnarray*} p \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} df(p)=\frac{\partial f}{\partial x}(p)dx \Leftrightarrow \frac{df}{dx}(p)=\frac{\partial f}{\partial x}(p) \end{eqnarray*}$

02.04.2013, 14:10

kgV

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Danke, das klärt einiges smile

smile

Interessant, mit den Richtungsvektoren... Das fällt in 2D gar nicht auf
Aber warum steht da noch dx bzw. dy dabei? einfach, um anzuzeigen, in welche Richtung differenziert wurde?

02.04.2013, 14:34

Che Netzer

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Vielleicht wäre auch das Stichwort Jacobi-Matrix interessant.

Allgemein ist die Ableitung an einem Punkt eine lineare Funktion.
Vielleicht ist die folgende Definition der Differenzierbarkeit auch etwas neues für dich:
Es seien $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} W \end{eqnarray*}$ zwei normierte Vektorräume.
Eine Funktion $\begin{eqnarray*} f\colon V\to W \end{eqnarray*}$ heißt differenzierbar in $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ , wenn es eine stetige lineare Abbildung $\begin{eqnarray*} A\colon V\to W \end{eqnarray*}$ gibt, so dass
$\begin{eqnarray*} f(x_0+h)=f(x_0)+Ah+R(h)\,, \end{eqnarray*}$
wobei für die "Restfunktion" $\begin{eqnarray*} R(h) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lim_{h\to0}\frac{\lVert R(h)\rVert}{\lVert h\rVert}\to0 \end{eqnarray*}$
gelte. Statt $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ schreibt man dann $\begin{eqnarray*} f'(x_0) \end{eqnarray*}$ . Zu beachten: $\begin{eqnarray*} f'(x_0) \end{eqnarray*}$ ist dann tatsächlich eine Abbildung!

Im Spezialfall, dass $\begin{eqnarray*} V=\mathbb R^m \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} W=\mathbb R^n \end{eqnarray*}$ (also im Endlichdimensionalen), ist $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ durch die Jacobi-Matrix darstellbar, in der die partiellen Ableitungen stehen.
Die Definition kann man aber auch im Unendlichdimensionalen verwenden; die nennt man übrigens Fréchet-Ableitung.

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02.04.2013, 15:36

Venus²

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dx und dy stehen noch dabei, weil je nach Richtungsvektor v die einzelnen Komponenten v_1,...,v_n mit unterschiedlichem Gewicht in die Funktion f und damit auch in df eingehen. Für v_i > v_j muss v_i stärker eingehen, d.h. es muss abgebildet werden, dass die Änderung in x_i-Richtung größer als in x_j-Richtung ist. Dies geschieht über dx_i und dx_j.

02.04.2013, 19:14

kgV

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@ Venus: Danke, das meinte ich oben schon... ist nur etwas komisch rübergekommen

@ Che Netzer: Mit A(h) meinst du die Abbildung von V nach W, oder?
Das hieße dann:

"Der Funktionswert einer um den gegen Null strebenden Wert h vermehrten Zahl $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ ist gleich dem Funktionswert der Zahl $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ plus die Abbildung von h nach W (=f(h)?) Plus den Funktionswert von h, ermittelt aus einer Restfunktion."

Zur Restfunktion noch eine Frage: was bedeuten die doppelten Betragsstriche? ich habe etwas von einer Norm gelesen. Wäre das dann die Norm, dia auf V und W gilt?

Mit der jacoobi-Matrix kann ich mich dann aber wohl erst morgen b eschäftigen, muss jetzt leider schon wieder weg (AG-Sitzung) Wink

Wink

02.04.2013, 20:14

Che Netzer

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Zitat:

Original von kgV
@ Che Netzer: Mit A(h) meinst du die Abbildung von V nach W, oder?

Naja, $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ ist die Abbildung von $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} w \end{eqnarray*}$ . Dann ist $\begin{eqnarray*} A(h) \end{eqnarray*}$ oder auch $\begin{eqnarray*} Ah \end{eqnarray*}$ (bei linearen Abbildungen lässt man die Klammern gerne weg) der Funktionswert.

Zitat:

Zur Restfunktion noch eine Frage: was bedeuten die doppelten Betragsstriche? ich habe etwas von einer Norm gelesen. Wäre das dann die Norm, dia auf V und W gilt?

Genau.
Das ist sozusagen eine Verallgemeinerung des Betrages, im $\begin{eqnarray*} \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ z.B. kann man den euklidischen Betrag eines Vektors als Norm wählen.

Zitat:

Das hieße dann:

"Der Funktionswert einer um den gegen Null strebenden Wert h vermehrten Zahl $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ ist gleich dem Funktionswert der Zahl $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ plus die Abbildung von h nach W (=f(h)?) Plus den Funktionswert von h, ermittelt aus einer Restfunktion."

Anschaulich hieße das: Die Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ kann um den Punkt $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ durch die lineare Abbildung $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ approximiert werden – und zwar so, dass der dabei gemachte Fehler (die Restfunktion) bei Annäherung an $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ schneller als linear fällt.

Im Eindimensionalen ist das genauso:
Wenn $\begin{eqnarray*} f\colon\mathbb R\to\mathbb R \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ differenzierbar ist und wir
$\begin{eqnarray*} f(x_0+h)=f(x_0)+[f'(x_0)]h+R(h) \end{eqnarray*}$
schreiben (wir können $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ über diese Gleichung definieren), dann erhalten wir
$\begin{eqnarray*} \frac{\lvert R(h)\rvert}{\lvert h\rvert}=\left\lvert\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}h-f'(x_0)\right\rvert\,. \end{eqnarray*}$
Für $\begin{eqnarray*} h\to0 \end{eqnarray*}$ sehen wir dann, dass beide Seiten gegen Null gehen.
Dementsprechend ist die genannte Definition eine Verallgemeinerung der Definition über den Differentialquotienten.
Die Schreibweise, die ich hier genannt habe, hat aber den Vorteil, dass sie ohne Quotienten auskommt. Denn durch Vektoren kann man ja schlecht teilen.

Lineare Funktionen im Reellen sind ja gerade Multiplikationen mit Reellen Zahlen, hier steht $\begin{eqnarray*} f'(x_0) \end{eqnarray*}$ für die lineare Funktion, die ihre Argumente mit $\begin{eqnarray*} f'(x_0) \end{eqnarray*}$ multipliziert. Bei der Verallgemeinerung muss das aber tatsächlich zu einer Abbildung werden.

02.04.2013, 22:15

kgV

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Sehr anschauliche Erläuterung ( Freude

Freude

), danke
Ich werde mich dann mal in puncto Jacobi-Matrix einlesen und melde mich dann evtl wieder smile

smile

03.04.2013, 20:59

kgV

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So, habe jetzt einiges an Literatur hinter mir und noch eine Frage: In meinem Besipiel: $\begin{eqnarray*} f(x,y)=x^2+y^2 \end{eqnarray*}$ habe ich zwei Komponentenfunktionen: $\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y^2 \end{eqnarray*}$ , oder?
die Jacobi-Matrix wäre dann folgende: $\begin{eqnarray*} J_f=\begin{pmatrix}2x&0\\0&2y\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Lg

03.04.2013, 21:04

Che Netzer

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Nein, hier hat der Funktionswert nur eine Komponente; die Jacobi-Matrix ist also eine $\begin{eqnarray*} 1\times2 \end{eqnarray*}$ -Matrix (außer du hast da eine andere Konvention).

03.04.2013, 21:08

kgV

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Dann einfach: $\begin{eqnarray*} J_f=\begin{pmatrix}2x&2y\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Nebenbei: hatte oben einen Fehler, den ich erst jetzt sehe: die Null in Zeile 2 muss nach links (das basiert auf meiner falschen Annahme zu Komponentenfunktionen. habe einfach beide Funktionen getrennt nach x und y abgeleitet...)

Die Komponente meiner Funktion wäre dann z?

03.04.2013, 21:16

Che Netzer

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Zitat:

Original von kgV
Die Komponente meiner Funktion wäre dann z?

Hä?
Was ist denn $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ ?
Wenn du den Graphen von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ zeichnen möchtest, dann wäre $\begin{eqnarray*} f(x,y) \end{eqnarray*}$ die $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ -Komponente, falls du das meinst.

03.04.2013, 21:23

kgV

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Genau das meinte ich smile

smile

So, jetzt habe ich auch verstanden (glaube ich zumindest), was mit den Komponenten der Funktion gemeint ist... Wäre meine Funktion $\begin{eqnarray*} f(x,y)=\begin{pmatrix} 2x+y \\ x\cdot y \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , dann hätte sie zwei Komponentenfunktionen, würde aber immer noch von $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ abbilden und die Komponente des Funktionswertes im Koordinatensystem wäre z

edit: Die Jacobi-Matrix: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2&1 \\y & x\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

03.04.2013, 21:27

Che Netzer

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Nein, deine neue Funktion bildet nach $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ ab Augenzwinkern

Augenzwinkern

Wenn man eine Funktion $\begin{eqnarray*} f\colon\mathbb R^m\to\mathbb R^n \end{eqnarray*}$ gegeben hat, kann man die ja als
$\begin{eqnarray*} f(v)=\begin{pmatrix}f_1(v)\\f_2(v)\\\vdots\\f_n(v)\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
schreiben, wobei $\begin{eqnarray*} v\in\mathbb R^m \end{eqnarray*}$ .
Diese $\begin{eqnarray*} f_i \end{eqnarray*}$ sind dann die Komponentenfunktionen. Deren Anzahl entspricht also genau der Dimension des Bildraumes.

(und deine Jacobi-Matrix stimmt)

03.04.2013, 21:39

kgV

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Ok, danke für die Erklärungen. Da hat sich jetzt die eine oder andere Denkblockade in Luft aufgelöst smile

smile

Noch eine letzte Frage: Kann man (als Merkhilfe) sagen, dass die Dimension des Objektraumes der Anzahl der Variablen in der Funktion entspricht und die Dimension des Bildraumes der Anzahl der Komponentenfunktionen?
Und: Wenn in einer Komponentenfunktion nicht alle der Variablen vorkommen, z.B. nur zwei von insgesamt drei, hat diese Komponentenfunktion dann den Objektraum $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ , sprich, haben Komponentenfunktionen stets denselben Objektraum wie die Gesamtfunktion oder variiert der?

03.04.2013, 21:50

Che Netzer

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Objektraum? Wo hast du denn den Begriff her und was soll der bedeuten?
Naja, die Dimension des Bildraumes ist auf jeden Fall die Anzahl der Komponenten, das stimmt schon (zumindest wenn wir uns nur für $\begin{eqnarray*} \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ interessieren und keine anderen komischen Vektorräume).
Die Dimension des Urbildraumes ist die Anzahl der Variablen, auch wenn eine der Variablen "unberücksichtigt" bleibt.

03.04.2013, 21:54

kgV

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Mit Objektraum meinte ich den Urbildraum, habe in Wikipedia zuerst einen falschen Artikel (geometrische Optik) erwischt und mir von da wohl den Namen mitgeschleppt. smile

smile

Peinlich, peinlich unglücklich

unglücklich

Danke jedenfalls für deine Erklärungen Respekt

Respekt

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