Restglied Abschätzung

02.04.2013, 15:23	Stephan123	Auf diesen Beitrag antworten »
Restglied Abschätzung Hallo, hier die Aufgabe: Bestimmen Sie ein Polynom $\begin{eqnarray} P \end{eqnarray}$ so, dass $\begin{eqnarray} \|x \cdot cos(x) - P(x)\| < 1.5 \cdot 10^{-3} \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} [-1,1] \end{eqnarray}$ gilt. (Hinweis: $\begin{eqnarray} T_{4} \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} cos \end{eqnarray}$ ) Meine Idee: Wie im Hinweis steht wollte ich das 4. Taylorpolynom nehmen und dann eine Restglied abschätzung machen, also zeigen, dass $\begin{eqnarray} \|R_{4}(x)\| < 1.5 \cdot 10^{-3} \end{eqnarray}$ ist. Dazu die 5. Ableitung: $\begin{eqnarray} f'''''(x) = -sin(x) \cdot x + 5 \cdot cos(x) \end{eqnarray}$ Habe es online überprüft, sollte also richtig sein. Der Entwicklungspunkt sollte ja $\begin{eqnarray} x_{0} =0 \end{eqnarray}$ sein. Es folgt: $\begin{eqnarray} \|x \cdot cos(x) - T_{4}(x)\| = \|R_{4}(x)\| = \| \frac{f'''''(\xi)}{(4+1)!} \cdot (x-x_{0})^{4+1}\| = \|\frac{-sin(\zeta) \cdot \xi + 5 \cdot cos(\xi)}{120} \cdot x^{5}\| \end{eqnarray}$ Setzt ich nun $\begin{eqnarray} x = \xi = 1 \end{eqnarray}$ folgt $\begin{eqnarray} \frac{1}{24} \end{eqnarray}$ , was aber größer ist als $\begin{eqnarray} 1.5 \cdot 10^{-3} \end{eqnarray}$ . Was mache ich falsch?
02.04.2013, 16:08	Lampe16	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielleicht mache ich es zu einfach, aber wenn ich P=x-x^3/2+x^5/24 setze, ist der maximale Abweichungsbetrag gegen xcos x kleiner als 1.410^-3.
02.04.2013, 16:22	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Das entspräche genau meiner Interpretation des Tipps: Dass der Cosinus durch sein Taylor-Polynom vierten Grades mit einem Fehler kleiner $\begin{eqnarray} 1,5\cdot10^{-3} \end{eqnarray}$ auf $\begin{eqnarray} [-1,1] \end{eqnarray}$ approximiert wird.
02.04.2013, 16:31	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
@Stephan Anscheinend hast du den Tipp falsch gelesen und dir dadurch mehr Arbeit gemacht: Der Tipp spricht nicht von 1) $\begin{eqnarray} P(x)=T_4(x) \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} T_4 \end{eqnarray}$ das Taylorpolynom vierter Ordnung von $\begin{eqnarray} f(x)=x\cos(x) \end{eqnarray}$ ist, sondern von 2) $\begin{eqnarray} P(x)=xT_4(x) \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} T_4 \end{eqnarray}$ das Taylorpolynom vierter Ordnung von $\begin{eqnarray} f(x)=\cos(x) \end{eqnarray}$ ist. In der Rechnung ein bedeutender Unterschied.
02.04.2013, 17:25	Stephan123	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, stimmt, so ist das ganze sinnvoller, hat sich dann erledigt. Danke für die Antworten

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