Folgen Grenzwerte

02.04.2013, 16:39

Mixer007

Folgen Grenzwerte

Hallo liebe Community,

ich habe hier zwei Folgen, von denen ich die Häufungspunkte berechnen soll und sowie oberen und unterem limes.

$\begin{eqnarray*} a_n= (-1)^n*2^{-2n+1} *( n^4-3)/(n^4+2n^2+1) \end{eqnarray*}$

und die andere

$\begin{eqnarray*} b_n= cos(\pi/n*sin(2^n)) * ( -n^3+2)/ (13n) \end{eqnarray*}$

also bei ersten Folge habe ich alles mal durch n^4 geteilt und gesehen, dass der Nenner dann gegen null strebt. Da auch $\begin{eqnarray*} a_n= (-1)^n*2^{-2n+1} \end{eqnarray*}$
gegen null strebt , habe ich daraus geschlossen, dass die ganze Folge gegen Null strebt, stimmt das?

bei der zweiten Folge hab beim cos gesehen, dass er gegen die eins strebt, weil ja der sin da gegen null strebt und cos(0)=1
da wir ein -n^3 haben, glaube ich, die Folge strebt gegen $\begin{eqnarray*} -\infty \end{eqnarray*}$

Deswegen denke ich die beiden Folgen haben keine Häufungspunkte aber halt einen Grenzwert, der zuglleich oberer und unterer ist. Oder bin ich auf dem Holzweg?
Ich hab sie auch in wolframalpha eingetippt, und es kommt auch das raus, was ich denke, aber kann man hier wolframalpha trauen oder kann es sein dass er auch was falsches aussgibt?

02.04.2013, 17:13

RavenOnJ

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RE: Folgen Grenzwerte
$\begin{eqnarray*} a_n= (-1)^n 2^{-2n+1} \frac{ n^4-3}{n^4+2n^2+1} \end{eqnarray*}$

Warum teilen durch $\begin{eqnarray*} n^4 \end{eqnarray*}$ ? Man kann $\begin{eqnarray*} n^4 \end{eqnarray*}$ rauskürzen, dann wird der Bruch nicht zu 0, sondern zu 1. Dass $\begin{eqnarray*} (-1)^n 2^{-2n+1} \end{eqnarray*}$ eine Nullfolge ist, ist richtig. Da außerdem die Folge, die man aus dem Bruch bilden kann, beschränkt ist, stimmen Limes superior und Limes inferior überein und man kann stattdessen den Limes nehmen.

Zitat:

Deswegen denke ich die beiden Folgen haben keine Häufungspunkte aber halt einen Grenzwert, der zugleich oberer und unterer ist.

Die Folge ist beschränkt, muss also mindestens einen Häufungspunkt haben. Die Aussage über die Grenzwerte stimmt (s.o.).

02.04.2013, 17:24

RavenOnJ

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RE: Folgen Grenzwerte
$\begin{eqnarray*} b_n= \cos\Big(\frac{\pi \sin(2^n)}n\Big) \frac{ -n^3+2}{13n} \end{eqnarray*}$

Zitat:

bei der zweiten Folge hab beim cos gesehen, dass er gegen die eins strebt, weil ja der sin da gegen null strebt und cos(0)=1

Das ist eine gefährliche Schlussfolgerung. Warum strebt der Sinus gegen 0? Strebt der Sinus überhaupt irgendwo hin? Du musst anders schlussfolgern, warum der Cosinus-Term gegen 1 geht.

Zitat:

da wir ein -n^3 haben, glaube ich, die Folge strebt gegen $\begin{eqnarray*} -\infty \end{eqnarray*}$

Den Nenner ignorierst du? Ich behaupte nicht, dass die Folge nicht divergiert, nur deine Begründung ist verbesserungsbedürftig.

02.04.2013, 18:39

Mixer007

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RE: Folgen Grenzwerte
also das mit dem n^4 hab ich mit rauskürzen gemeint^^

bei der zweiten Folge muss man dann auch das n^3 wegkürzen, denke ich mal dann sieht man dass der Nenner gegen null strebt und damit die ganze folge gegen $\begin{eqnarray*} <br /> -\infty \end{eqnarray*}$

Aber das mit dem Sinus weiß ich nicht wie man das begründen kann, ich habs halt nur so ausprobiert mit Taschenrechner, aber wie ich das zeigen soll, keine Ahnung? verwirrt

Oder wie man da argumeniert, ich sehe das auch zum ersten Mal eine Potenz vom Sinus...

02.04.2013, 20:13

RavenOnJ

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Das ist doch keine Potenz vom Sinus, nur das Funktionsargument des Sinus ist eine Zweierpotenz. Überleg doch mal, wie sich das Argument des Cosinus verhält, wenn n gegen Unendlich strebt.

02.04.2013, 20:16

RavenOnJ

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RE: Folgen Grenzwerte

Zitat:

Original von Mixer007
bei der zweiten Folge muss man dann auch das n^3 wegkürzen, denke ich mal dann sieht man dass der Nenner gegen null strebt und damit die ganze folge gegen $\begin{eqnarray*} <br /> -\infty \end{eqnarray*}$

Kürze besser nur n weg, dann bleibt im Zähler noch ein Term mit $\begin{eqnarray*} n^2 \end{eqnarray*}$ stehen.

02.04.2013, 20:45

grosserloewe

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RE: Folgen Grenzwerte
Hallo,

habe das mal für bn berechnet, falls es interessiert

05.04.2013, 09:53

Mixer007

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RE: Folgen Grenzwerte
also ich glaub gegen minus unendlich darfst du gar net einsetzen, und das ist keine
Funktion, das ist eine Folge,da darf man glaub nur natürliche Zahlen nehmen.

@raven: wenn n gegen unendlich geht, dann geht der Wert der Cosinus gegen 1.

05.04.2013, 10:00

RavenOnJ

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Das muss aber begründet werden. Warum geht der Cosinus-Term gegen 1? Konstatieren kann man viel.

06.04.2013, 20:00

Mixer007

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weil der sinus gegen null geht, und dann rechne ich ja cos(0)=1

Weiß nicht wie man das ansonsten bergründen soll.

06.04.2013, 22:45

RavenOnJ

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Nein, der Sinus-Term geht nicht gegen Null. Was wäre denn $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}\sin(2^n) \end{eqnarray*}$ ? Existiert der Limes überhaupt?

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