definiertes Skalarfeld

02.04.2013, 18:45	dastutweh	Auf diesen Beitrag antworten »
definiertes Skalarfeld Meine Frage: Ich habe ein Vektorfeld $\begin{eqnarray} v = \begin{pmatrix} x-y \\ x+y \\ z \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ welches ich über eine geschlossene Kurve $\begin{eqnarray} \partial K \end{eqnarray}$ mit dem Integral $\begin{eqnarray} I = \int_{\partial K}^{} \! \nabla (v^Tv) \, dx \end{eqnarray}$ integrieren soll. In meiner Musterlösung steht nun lediglich, dass I=0 ist, "Da dK eine geschlossene Kurve und das Skalarfeld auf ganz R3 definiert ist". Meine Ideen: Ich meine, wenn ich das einfach so ohne Beweis hinschreibe, haut mir das doch jeder Prof um die Ohren, oder? Ich habe also versucht nachzuvollziehen, warum das Skalarfeld auf ganz R3 definiert ist. Allerdings kam ich mit dieser Aussage schon nicht sehr weit. Ich wollte also prüfen, ob es sich bei $\begin{eqnarray} \nabla (v^Tv) \end{eqnarray}$ um ein Potentialfeld handelt. Ist dies der Fall, ist ja das Integral über eine Kurve wegunabhängig, und bei geschlossener Kurve = 0. Nun habe ich alles umgeformt, und komm auf: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 2x-2y & -2y & x-y \\ 2x & 2x-2y & x+y \\ z & z & 2z \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Tja und jetzt weiß ich nicht wie ich bei einer Matrix feststellen soll, ob es ein Potentialfeld ist. Oder gibt es einen leichteren Weg?
02.04.2013, 18:49	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: definiertes Skalarfeld Dass $\begin{eqnarray} \nabla(v^{\mathrm T}v) \end{eqnarray}$ das Potential $\begin{eqnarray} v^{\mathrm T}v \end{eqnarray}$ besitzt, ist wohl klar. Und dann soll noch erfüllt sein, dass das fragliche Gradientenfeld auf einem sternförmigen Gebiet definiert ist – was hier offenbar der Fall ist, da $\begin{eqnarray} \mathbb R^3 \end{eqnarray}$ sogar konvex ist. Woher deine Matrix kommt, ist mir allerdings völlig unklar
02.04.2013, 19:00	dastutweh	Auf diesen Beitrag antworten »
aber wie forme ich das denn sonst aus? zum beispiel das (v^Tv) ergibt doch schon eine 3x3 matrix, oder nicht? ist das keine vektormultiplikation?
02.04.2013, 19:04	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, $\begin{eqnarray} vv^{\mathrm T} \end{eqnarray}$ wäre eine Matrix. Dagegen ist $\begin{eqnarray} v^{\mathrm T}v \end{eqnarray}$ eigentlich das (Standard-)Skalarprodukt von $\begin{eqnarray} v \end{eqnarray}$ mit sich selbst.
02.04.2013, 19:17	dastutweh	Auf diesen Beitrag antworten »
okay, aber dann versteh ich nicht wo der unterschied ist zwischen vv und v^Tv. und wenn ich dann einen skalar als ergebnis hab, was mach ich dann mit dem armen nabla-operator? kann man den auf ein skalar anwenden?
02.04.2013, 20:19	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} vv \end{eqnarray}$ gibt es gar nicht. $\begin{eqnarray} v\cdot v \end{eqnarray}$ ist das gleiche wie $\begin{eqnarray} v^{\mathrm T}v \end{eqnarray}$ , WENN mit $\begin{eqnarray} \cdot \end{eqnarray}$ das euklidische Skalarprodukt gemeint ist. In $\begin{eqnarray} v^{\mathrm T}v \end{eqnarray}$ wird ein Zeilenvektor mit einem Spaltenvektor multipliziert, es entsteht ein Skalar. In $\begin{eqnarray} vv^{\mathrm T} \end{eqnarray}$ wird ein Spaltenvektor mit einem Zeilenvektor multipliziert, es entsteht eine Matrix. Und den Gradienten kann man (nach direkter Definition) ausschließlich auf Skalarfelder anwenden. Für ebendiesen steht ja ein $\begin{eqnarray} \nabla \end{eqnarray}$ ohne Verknüpfungszeichen.
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