messbarkeit

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Hammala Auf diesen Beitrag antworten »
messbarkeit
Meine Frage:
hey hey,

ne kurze Frage, ich soll folgendes zeigen oder widerlegen:

f messbar <=> f^2 messbar
f messbar <=> f^3 messbar


Meine Ideen:
Messbar heißt ja, dass für jede Menge im Bild das Urbild in unserer Sigma-Algebra ist. Wahrscheinlich ist f^2 nicht messbar wg. Vorzeichenprobleme, ein Gegenbsp. fällt mir nicht ein

ist denn die Komposition messbarer fkt. nicht auch messbar?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: messbarkeit
bezeichnet hier die Abbildung und nicht , oder?

Fangen wir mal mit der ersten Äquivalenz an:
Die gilt tatsächlich nicht, stell mal etwas lustiges mit einer Indikatorfunktion auf einer nicht-messbaren Menge an.
 
 
Hammala Auf diesen Beitrag antworten »
RE: messbarkeit
x auf f(x)^2, damit hat sich schon mal eine Frage geklärt danke Big Laugh

willst du das mit der nicht messbaren Menge auf die nicht -Messbarkeit von f^2 zurückschließen?
oder was ist die idee
die Def. ist ja, dass das Urbild jeder Menge in der Sigma-Algebra liegt, bringt aber nix Big Laugh
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: messbarkeit
Wenn eine Menge nicht messbar ist, ist dann (also die Indikatorfunktion darauf) messbar?
Hammala Auf diesen Beitrag antworten »
RE: messbarkeit
anscheinend nicht, aber wie schaut dann f aus, am besten so, dass f^2 = 1 (z.B, also hauptsache konstant und damit stetig und damit messbar), aber auf welcher menge? Vielleicht Vitali-Menge oder spezielle Nullmengen?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: messbarkeit
Zitat:
Original von Hammala
anscheinend nicht

Das solltest du aber wissen. Wenn du sowieso gar kein Beispiel einer nicht-messbaren Funktion kennst, wie willst du dann die Aufgabe lösen?

Zitat:
aber wie schaut dann f aus, am besten so, dass f^2 = 1 (z.B, also hauptsache konstant und damit stetig und damit messbar)

Die Ideee ist gut, du solltest dir aber selbst überlegen, wie du dahinkommst.

Zitat:
aber auf welcher menge?

Das spielt keine Rolle, hauptsache die Menge ist nicht messbar.
Hammala Auf diesen Beitrag antworten »
RE: messbarkeit
ok ich überlegs mir und wie kann ich die zweite Behauptung zeigen
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Sollt ihr das für Borel-messbare Funktionen zeigen?
Im allgemeinen Fall gilt das nämlich nicht.
Hammala Auf diesen Beitrag antworten »

es stand da nur messbar, wahrscheinlich dann borel-messbar, wieso ist dass borel messbar und wieso nicht lesbeque?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Für Funktionen definiert man Messbarkeit üblicherweise mit der Borel-Sigma-Algebra im Bildraum und der Lebesgue(!)-Sigma-Algebra im Urbildraum.
Die Frage ist, ob ihr die Konvention auch getroffen habt bzw. von wo nach wo abbilden soll.

Für den "üblichen" Fall kannst du die Messbarkeit der dritten Wurzel verwenden.
Für den allgemeinen Fall konstruiere dir ein Gegenbeispiel mithilfe der von erzeugten Sigma-Algebra auf .
Hammala Auf diesen Beitrag antworten »

das krieg ich nicht hin, was meinst du eigentlich mit dritter Wurzel
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Mit "dritter Wurzel" meine ich die sogenannte dritte Wurzel Augenzwinkern
Also .

Langsam solltest du aber auch etwas selbst machen.
Hammala Auf diesen Beitrag antworten »

haha, ok ich kenn mich nur nicht mit so messbaren zeug aus (ich hab noch nie was damit gezeigt)

also Beweis: "=>" ist zz. , wobei die Sigma-Algebra im Urbild ist

..=

"<=" so ähnlich
Hammala Auf diesen Beitrag antworten »

könntest du außerdem mir einen gefallen machen und auf den thread hier nur kurz eingehen, (für ein genie wie du ist das bestimmt kein problem), das will sich keiner antun Freude
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Deinen Beweis kann ich nicht ganz nachvollziehen...
Du rechnest irgendetwas wie .

Versuch lieber mal folgendes Gegenbeispiel sauber aufzuschreiben:
Wir wählen und betrachten .
Setzen wir

so ist messbar, aber nicht .

Da gibt es noch einiges zu zeigen, tu das mal lieber.


Und du brauchst nicht nach 4 Minuten anfangen zu drängeln...
Hammala Auf diesen Beitrag antworten »

ahso ich dachte die Aussage stimmt,



f messbar, da folgende Mengen alle in enthalten sind:






ist nicht messbar, da
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Abgesehen von der Verwirrung von , und sieht das schon richtig aus.
Hammala Auf diesen Beitrag antworten »

ups haha, danke
hättest du noch netterweise zeit für die andere aufg. zum korrigieren (oder zumindest nur drüberschauen)

(Verteilung)

1000 dank

ps: was hast du eigentlich dann mit 3.Wurzel gemeint
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Allerdings ist noch unklar, ob ihr das wirklich für den allgemeinen Fall zeigen sollt.
Dann wären beide Äquivalenzen nämlich auf die gleiche Weise widerlegbar.
Wenn es um Borel-messbare Funktionen geht, stimmt zumindest die zweite.
Hammala Auf diesen Beitrag antworten »

es geht um borel-messbare mengen
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Dann sag das doch gleich (!)
Ich habe schon mehrmals danach gefragt...

Es ist also mit "messbar" stets "Borel-messbar" gemeint.
Dann geh mal zurück zu den entsprechenden Tipps zu der Variante.
Hammala Auf diesen Beitrag antworten »

ich hab doch geschrieben , dass wahrscheinlich mit messbar borelmessbar gemeint ist
egal, dafür konnte ich bisschen messbarkeit üben

nächster versuch: f(x) = messbar und da messbar, muss auf messbar sein
ist messbar, da bijektiv (wahrscheinlich total falsch)
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Aber "wahrscheinlich" ist nicht gerade verlässlich...

Und dein neuer Versuch basiert auch auf einer falschen Gleichung. Was willst du überhaupt zeigen?
Hammala Auf diesen Beitrag antworten »

ich will zeigen,wenn f messbar ist, dann muss auch f^3 es sein,
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Dann nutze die Aussage, dass Verknüpfungen messbarer Funktionen messbar sind.
Oder auch Produkte messbarer Funktionen.
Hammala Auf diesen Beitrag antworten »

ja und f borel-messbar und f^2 borel-messbar
(nur falls f^2 borel-messbar ist)

aber wenn doch f messbar ist, dann auch f^2, da f^2 = f*f
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das zeigt die eine Richtung. Nun versuche dich an der anderen.
Hammala Auf diesen Beitrag antworten »

also dass ichs nicht falsch verstehe, es gilt
Verknüfung von borel messbaren fkt. sind borel messbar, aber bei "nur" messbar gilt das nicht
(weil wir doch gezeigt haben, dass f^2 nicht messbar ist, obwohl f messbar)
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Hammala
Verknüfung von borel messbaren fkt. sind borel messbar, aber bei "nur" messbar gilt das nicht

Das gilt immer (wenn man es entsprechend formalisiert).
Momentan benutzen wir "messbar" synonym zu "Borel-messbar".

Zitat:
(weil wir doch gezeigt haben, dass f^2 nicht messbar ist, obwohl f messbar)

Das haben wir nicht gezeigt... Von welchem sprichst du überhaupt?
Hammala Auf diesen Beitrag antworten »

ich meinte f^3 (statt f^2)
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, im allgemeinen Fall muss aus der Messbarkeit von nicht die von oder folgen. Momentan sprechen wir aber über Borel-Messbarkeit, für die diese Implikation doch gilt.
Hammala Auf diesen Beitrag antworten »

das wird ja immer komplizierter, dann ist aber doch f^2 auch nicht messbar, schau dir dein bsp. mal an nur mit erzeugt

(im sinne messbar (und nicht borelmessbar))
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Welches denn?
Wovon redest du?

Die Aufgabe lautet doch nun zu zeigen oder zu widerlegen, dass eine Funktion genau dann messbar ist (also Lebesgue-Borel-messbar, ganz normal), wenn bzw. messbar ist.
Hammala Auf diesen Beitrag antworten »

sorry hab ein fehler gemacht (bei mir war f nicht messbar)
ok kurze zusammenfassung:

borel messbar:

f b-messbar => f^2 b-messbar (wg. Komposition...)
... <= .... ???

f b-messbar => f^3 borel messbar (wg. Kompostion)
<= gilt auch, da messbar, da bijektiv
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Hammala
f b-messbar => f^2 b-messbar (wg. Komposition...)

Das ist kein Beweis...

Zitat:
... <= .... ???

Dazu hatte ich dir vorhin schon einen Tipp gegeben.


Zitat:
f b-messbar => f^3 borel messbar (wg. Kompostion)

Wieder kein Beweis.

Zitat:
<= gilt auch, da messbar, da bijektiv

Wen interessiert denn ?
Und was möchtest du mit "da bijektiv" aussagen.

Formuliere deine Beweise in vollständigen, ganzen Sätzen.
Hammala Auf diesen Beitrag antworten »

was haben wir denn die ganze zeit gemacht?

wenn f messbar ist, dann muss doch auch f^2 messbar sein, vorhin stimmte das noch
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Das stimmt auch jetzt noch, aber du hast es in deiner Zusammenfassung nicht bewiesen.
Brauchst du übrigens auch gar nicht.
Hammala Auf diesen Beitrag antworten »

ok dann möchte ich nur noch zeigen, wenn messbar, dann auch f

ist denn messbar? dann kann ich damit f darstellen als Verknüpfung messbarer Funktionen darstellen
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Hammala
ist denn messbar?

Ja. Du musst aber auch begründen, wieso.
Hammala Auf diesen Beitrag antworten »

da bijektiv? (das hatte ich übrigends vorhin gemeint)
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