Im(A) Teilmenge von Im(A^2) ?

03.04.2013, 08:44

Tim929

Im(A) Teilmenge von Im(A^2) ?

Meine Frage:
Hallo! Ich bräuchte Hilfe bei einer Aufgabe:

Beweisen oder widerlegen Sie:
Im(A) $\begin{eqnarray*} \subset \end{eqnarray*}$ Im(A^2) mit A $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ M(n, n, K)

Meine Ideen:
Mein Ansatz:
Im(A):= AX mit X $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ K^n
Im(A^2):= (A^2)X = (A*A)X
Wegen der Assoziativität bei Matrizen gilt: (A*A)X = A(AX) mit AX $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ Im(A)
folglich wäre Im(A) $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ Im(A^2), also Im(A) $\begin{eqnarray*} \subset \end{eqnarray*}$ Im(A^2)

Bin ich auf dem richtigen Weg? Würde mich über ein paar Meinungen freuen smile

03.04.2013, 09:00

klarsoweit

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RE: Im(A) Teilmenge von Im(A^2) ?

Zitat:

Original von Tim929
folglich wäre Im(A) $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ Im(A^2)

Mal abgesehen davon, daß Im(A) eine Menge ist und folglich in diesem Zusammenhang kein Element von Im(A²) sein kann, ist auch die Folgerung nicht schlüssig.

Probiere das ganze mal an der Matrix $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ . smile

03.04.2013, 09:00

lgrizu

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RE: Im(A) Teilmenge von Im(A^2) ?
Nein,du bist nicht auf dem richtigen Weg.

Betrachte einmal die Abbildung, die durch die Matrix gegeben ist $\begin{eqnarray*} A= \begin{pmatrix}5&-3&2\\15&-9&6\\10&-6&4\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wir nehmen nur einmal das Bild eines Einheitsvektors, dieses ist zum Beispiel $\begin{eqnarray*} A \cdot e_1=\begin{pmatrix}5\\15\\10\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Nun schau dir mal das Bild von $\begin{eqnarray*} A^2 \end{eqnarray*}$ an.....

03.04.2013, 10:02

Tim929

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vielen lieben Dank für die schnellen Antworten!
Ich habe es jetzt verstanden. Eigentlich ganz simpel mit dem Gegenbeispiel, nur immer auf sowas zu kommen... Augenzwinkern

03.04.2013, 10:35

klarsoweit

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Dann kannst du ja mal deinen verunglückten Beweis korrigieren. Augenzwinkern

03.04.2013, 16:37

Tim929

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Meine Lösung sieht jetzt so aus:
Sei A = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
dann ist Im(A) = < $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
und A² = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
damit Im(A²) = {0}
folglich ist Im(A) keine Teilmenge von Im(A²)

03.04.2013, 18:44

lgrizu

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Zitat:

Original von Tim929
dann ist Im(A) = < $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Was soll das bedeuten? verwirrt

03.04.2013, 19:20

Tim929

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oh, ich meinte
Im(A) = < $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ > = span( $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ )

03.04.2013, 19:58

lgrizu

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Eine Aussage kann man schnell mit einem Gegenbeispiel widerlegen, aber du kannst auch deine Beweisidee "reparieren"...

03.04.2013, 20:19

Tim929

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leider weiß ich nicht genau, was du mit reparieren meinst.
Könntest du mir einen Ansatz geben?

04.04.2013, 08:49

klarsoweit

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RE: Im(A) Teilmenge von Im(A^2) ?

Zitat:

Original von Tim929
Beweisen oder widerlegen Sie:
Im(A) $\begin{eqnarray*} \subset \end{eqnarray*}$ Im(A^2) mit A $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ M(n, n, K)

Eine Reparatur könnte so aussehen: $\begin{eqnarray*} Im(A^2) \subset Im(A) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} A \in M(n, n, K) \end{eqnarray*}$ smile

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