Beweis mithilfe binomisch. Formel

03.04.2013, 10:40

Hawkins

Beweis mithilfe binomisch. Formel

Hallo

Ich möchte gerne folgende Ungleichung "mit Hilfe der binomischen Formel beweisen" (laut Angabe):

$\begin{eqnarray*} (1+x)^n \ge \frac{n^2 * x^2}{4} \end{eqnarray*}$

Über den binomischen Lehrsatz erhalte ich zunächst:

$\begin{eqnarray*} (1+x)^n = \sum_{k=0}^n (\binom{n}{k} x^k) \end{eqnarray*}$

Allerdings steige ich jetzt schon aus, da mir weitere Ideen fehlen, wie ich den Beweis angehen könnte.

Für jegliche Hinweise und Tipps bin ich sehr dankbar!

Lg,

H.

03.04.2013, 11:16

Grautvornix

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RE: Beweis mithilfe binomisch. Formel
Es sind sicher noch weitere Voraussetzungen an $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ gegeben...

Löse dann die ersten drei Summanden aus der Summe heraus.

04.04.2013, 08:28

Hawkins

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Ja, natürlich, nämlich

$\begin{eqnarray*} x \ge 0 \wedge n \ge 2 \end{eqnarray*}$

Ich versuche mal das, was du vorschlägst:

$\begin{eqnarray*} 1 + n*x + \frac{n!*x^2}{2*(n-2)!} + \sum_{k=3}^n (\binom{n}{k} x^k) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} => \frac{2*(n-2)! * [1 + n*x + x^2*(n*(n-1))]}{2*(n-2)!} = 1 + nx + x^2*(n^2-n) \end{eqnarray*}$

Bin ich auf der richtigen Spur? verwirrt

04.04.2013, 09:19

Grautvornix

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Zitat:

Original von Hawkins
Ja, natürlich, nämlich

$\begin{eqnarray*} x \ge 0 \wedge n \ge 2 \end{eqnarray*}$

Aha!

Zitat:

Original von Hawkins
Ich versuche mal das, was du vorschlägst:

$\begin{eqnarray*} 1 + n*x + \frac{n!*x^2}{2*(n-2)!} + \sum_{k=3}^n (\binom{n}{k} x^k) \end{eqnarray*}$

Unter den gegebenen Voraussetzungen hast Du also:

$\begin{eqnarray*} (1+x)^n=\underbrace{1+nx}_{\geq 0}+{n\choose 2}x^2+\underbrace{\sum_{k=3}^n{n\choose k}x^k}_{\geq 0}\geq\ldots \end{eqnarray*}$

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