Wahrscheinlichkeit

03.04.2013, 11:59

Mathe(ww)

Wahrscheinlichkeit

Meine Frage:
Ein Lehrer ermittelt die Noten der Schüler durch würfeln, er würfelt 3 mal und schreibt sich netter Weise die beste Note auf.
Wieviel Prozent der Schüler bekommen eine 1 ?

Meine Ideen:
Ist die Wahrscheinlichkeit nicht 50%? Zerbreche mir schon sehr lange den Kopf über diese Aufgabe.

Hoffe ihr könnt mir da weiterhelfen.
Ein geeignetes Baumdiagramm kommt leider nicht zustande weil ich immer in Richtung der 50% denke.

Danke!

03.04.2013, 12:31

Mazze

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Ist die Aufgabe wirklich so gestellt? Diese ist hochgradig unpräzise. Wir wissen nicht wieviele Schüler es gibt, oder soll dass Problem allgemein für n Schüler gelößt werden? Was soll

Zitat:

Wieviel Prozent der Schüler bekommen eine 1 ?

heissen? Es handelt sich um ein Zufallsexperiment, da kannst Du keinen exakten "Prozentwert" bestimmen. Du könntest Erwartungswert/Varianz und Ähnliches bestimmen.

Und eigentlich müsste auch die Verteilung des Würfels gegeben sein, auch wenn man stillschweigend davon ausgeht dass es sich um einen fairen Würfel handelt.

03.04.2013, 12:47

mathe(ww)

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Ja der würfel ist fair. (6 Flächen)
Ich kann die Aufgabe leider nicht mehr genau wiedergeben.
Anzahl der Schüler war auf jeden fall NICHT gegeben.
Es war noch gesagt das er 3mal würfelt und sich die beste Note aufschreibt.

Das war alles.

03.04.2013, 13:06

Mazze

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Zitat:

Anzahl der Schüler war auf jeden fall NICHT gegeben.

Dann ist das Problem wohl für eine allgemeine Anzahl $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ zu lösen.

Es ist jedoch immernoch nicht klar was wir eigentlich Suchen. Ich schätze aber mal, dass es sich um den Erwartungswert handelt. Der erste Schritt ist hier eine saubere Formulierung, denn sonst hilft alles rechnen nicht. Wir haben

$\begin{eqnarray*} n \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ Schüler

Das Zufallsereignis $\begin{eqnarray*} X \in \{1,2,3,4,5,6\} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} p(X=i) = \frac{1}{6} , i \in \{1,2,3,4,5,6\} \end{eqnarray*}$ was einen Würfelwurf beschreibt.

Die Zufallsvariable

$\begin{eqnarray*} Y= \min(X_1,X_2,X_3) \end{eqnarray*}$

beschreibt dann die Note der Schüler. Wir interessieren uns allerdings nur für die Schüler die eine 1 bekommen, daher betrachten wir ausserdem

$\begin{eqnarray*} Z = \begin{cases} 1 & Y = 1 \\ 0 & \text{ sonst }\end{cases} \end{eqnarray*}$

1) Bestimme die Verteilung von $\begin{eqnarray*} Z \end{eqnarray*}$
2) Wir wiederholen das Zufallsexperiment $\begin{eqnarray*} Z \end{eqnarray*}$ genau $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ mal (für jeden Schüler), welche Verteilung kennst Du die dieses Verhalten wiederspiegelt?

03.04.2013, 13:36

mathe(ww)

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Wie schon gesagt, komme einfach nicht weiter.
Das sagt mir auch leider nichts :/

03.04.2013, 13:37

Mazze

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Die Verteilung von Z zu bestimmen ist nicht schwierig, wo ist dein Problem dabei? Da sollten wir ansetzen.

03.04.2013, 13:41

mathe(ww)

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Also die möglichen Fälle wären dann ja 1,2,3,4,5,6

Ist das mit verteilung z gemeint?

Da hackts dann auch schon ? wie komme ich auf die Einzelwahrscheinlichkeiten?

03.04.2013, 13:45

Mazze

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Du hast also mit den grundlegenden Formulierungen schon Schwierigkeiten. Wir können das auch anders formulieren.

Es sei $\begin{eqnarray*} Z \end{eqnarray*}$ ein Ereignis, dass die Werte 1 oder 0 annehmen kann. Z nimmt den Wert 1 an, wenn bei drei mal Würfeln mindestens eine 1 gewürfelt wurde. Z nimmt den Wert 0 an, wenn keine 1 gewürfelt wurde.

Bestimme die Wahrscheinlichkeiten

$\begin{eqnarray*} P(Z = 1) \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} P( Z = 0) \end{eqnarray*}$

(damit wäre die Verteilung von Z vollständig bestimmt)

03.04.2013, 13:51

mathe(ww)

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Ja ist denn die Wahrscheinlichkeit dann nicht 3/6 eine 1 zu bekommen? wenn man doch 3 Würfe hat und die 1 so oder so genommen wird.. also
50%?

03.04.2013, 13:53

Mazze

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50% ist nicht richtig. Bestimme zunächst die Wahrscheinlichkeit

$\begin{eqnarray*} P(Z = 0) \end{eqnarray*}$

also die Wahrscheinlichkeit, dass keine 1 gewürfelt wird. Dann ist

$\begin{eqnarray*} P(Z = 1) = 1 - P(Z = 0) \end{eqnarray*}$

Beachte, dass die 3 Würfelwürfe als stochastisch Unabhängig betrachtet werden können.

03.04.2013, 14:02

mathe(ww)

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Das weiß ich nicht.

03.04.2013, 14:04

Mazze

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Da musst Du schon etwas nachdenken, aber das ist nichts, was ihr nicht schon gemacht hättet.

Überlege Dir einfach :

Was ist die Wahrscheinlichkeit mit einem Würfel keine 1 zu Würfeln?
Was ist die Wahrscheinlichkeit mit zwei Würfeln keine 1 zu Würfeln?
Was ist schlussendlich die Wahrscheinlichkeit mit drei Würfeln keine 1 zu Würfeln?

03.04.2013, 14:08

mathe(ww)

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5/6
dann
10/12
und
15/18

03.04.2013, 14:09

HAL 9000

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RE: Wahrscheinlichkeit

Zitat:

Original von Mathe(ww)
Wieviel Prozent der Schüler bekommen eine 1 ?

Das ist gewiss nur als andere Formulierung für die Frage

Mit welcher Wahrscheinlichkeit kommt bei diesem Verfahren eine 1 heraus?

gemeint (siehe auch Threadüberschrift). Also sollte man sich über irgendwelche Schüleranzahlen sicher nicht den Kopf zerbrechen, d.h. hier

Zitat:

Original von Mazze
1) Bestimme die Verteilung von $\begin{eqnarray*} Z \end{eqnarray*}$
2) Wir wiederholen das Zufallsexperiment $\begin{eqnarray*} Z \end{eqnarray*}$ genau $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ mal (für jeden Schüler), welche Verteilung kennst Du die dieses Verhalten wiederspiegelt?

reicht m.E. die Betrachtung von Punkt 1). Augenzwinkern

03.04.2013, 14:16

Mazze

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Zitat:

5/6 dann 10/12 und 15/18

also das erste ist schon mal richtig. Das zweite ist allerdings falsch. Wie kommst Du darauf? Schauen wir uns zwei Würfel an

Wieviele günstige Ereignisse gibt es (welche Möglichkeiten gibt es keine 1 zu Würfeln)
Wieviele Ereignisse gibt es insgesamt bei 2 Würfeln ?
Wie bekommst Du daraus die Wahrscheinlichkeit?
( Achte darauf ob Du die Reihenfolge beachtest oder nicht, je nach dem musst ein wenig anders rechnen)

Alternative:

Nutze für

$\begin{eqnarray*} P(X_1,X_2) \end{eqnarray*}$ (X_1 = erste Wurf, X_2 = zweite Wurf)

die Tatsache aus, dass wir stochastisch unabhängig würfeln.

Ansonsten ist der Einwand von HAL 9000 sicherlich richtig Augenzwinkern

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