Dirichletproblem - Kreisring

03.04.2013, 13:07	matmat	Auf diesen Beitrag antworten »
Dirichletproblem - Kreisring Meine Frage: Hallo, folgende Aufgabe habe ich zu lösen. Ich habe eine Lösung gefunden, bin mir aber unsicher, ob ich das so machen kann. Aufgabe: Lösen des radialsymmetrischen Dirichletproblem in einem Kreisring im R² $\begin{eqnarray} \Delta u = -32(x^{2}+y^{2}) \qquad 1 < x^{2}+y^{2} < e^{2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} u(\widehat x , \widehat y )=1 \qquad \widehat x^{2} + \widehat y^{2} = 1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} u(\widehat x , \widehat y )=0 \qquad \widehat x^{2} + \widehat y^{2} = e^{2} \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Ich bin folgender Maßen vorgegangen: Radialsymmetrie: $\begin{eqnarray} u(x,y)=v(r(x,y)) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} v''+\frac{1}{r} v' = -32 r^{2} \end{eqnarray}$ Randbedingungen: $\begin{eqnarray} v(1)=1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} v(e)=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} rv'' + v' = -32 r^{3} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (rv')' = -32 r^{3} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} rv' = -8 r^{4} + c \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} v' = -8 r^{3} + \frac{c}{r} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} v = -2 r^{4} + clnr + d \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} v(1) = -2 + d = 1 \Rightarrow d=3 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} v(e) = -2e^{4} + c + 3 = 0 \Rightarrow c = 2e^{4}-3 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} v(r) = -2 r^{4} + (2e^{4}-3)lnr + 3 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} u(x,y) = -2 (x^{2}+y^{2})^{2} + (2e^{4}-3)\frac{1}{2}ln(x^{2}+y^{2}) + 3 \end{eqnarray}$ Stimmt das??? Vielen Dank schon im voraus für jede Unterstützung.
04.04.2013, 10:52	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Deinen Lösungsweg habe ich nicht überprüft. Das Ergebnis jedenfalls stimmt. Es erfüllt alle gestellten Forderungen.
04.04.2013, 15:19	matmat	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank, dann hoffe ich mal, dass mein Lösungsweg legitim ist.

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