Kaffee/Zahl [gelöst]

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Mazze Auf diesen Beitrag antworten »
Kaffee/Zahl [gelöst]
So ich hab 2 interessante Rätsel entdeckt die ich posten wollte. Die Lösung hab ich allerdings nicht weswegen auch ich hier mit rätseln werde.

a)

Finde eine Zahl, deren erste Ziffer die Anzahl der vorkommenden Einsen, deren zweite Ziffer die Anzahl der vorkommenden Zweien, deren dritte Ziffer die anzahl der vorkommenden Dreien usw. bestimmt. Die zehnte Ziffer soll die Anzahl der Nullen darstellen.

b)

Aus einer Kanne Tee wird ein Löffel Tee entnommen, in eine Kanne Kaffee geschüttet und umgerührt. Danach wird ein Löffel Kaffee-Tee-Gemisch aus der zweiten Kanne entnommen und unter den Tee gerührt. Vorausgesetzt, in den Kannen war zu Beginn gleichviel Tee wie Kaffee und auch der Löffel jeweils gleich gefüllt, ist dann mehr Tee im Kaffee oder mehr Kaffee im Tee?

hf Augenzwinkern

edit

Also was mir schon so zu a spontan eingefallen ist, die zehnte Ziffer kann nicht null sein da sonst die Anzahl mindestens eins wäre. Und versucht mal eine andere zahl als 0000000009 zu finden Augenzwinkern
sommer87 Auf diesen Beitrag antworten »

hi,

kann bei a) die zahl 2100010006 stimmen?

oder hab ich n denkfehler?

\\EDIT: bei b) habe ich jeweils genausoviel Tee im Kaffee wie Kaffee im Tee :P
fakultaet Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kaffee/Zahl
a)
Zitat:
Original von Mazze
Also was mir schon so zu a spontan eingefallen ist, die zehnte Ziffer kann nicht null sein da sonst die Anzahl mindestens eins wäre. Und versucht mal eine andere zahl als 0000000009 zu finden Augenzwinkern

0000000009 kann ja nicht stimmen, weil dann bei der Stelle für die 9 eine 1 sein müsste. Soweit ich das sehe ist die Lösung von sommer87 richtig, jedenfalls find ich keinen Fehler drin ;-)
Man kann es ja so durchgehen:

0000000009
0000000108
1000001007
2100010006

jetzt ändert sich nix mehr.

b)
- Sagen wir in beiden Kannen ist die Menge 1
- Nach dem ersten umfüllen (sagen wir der löffel enthält die menge 0.1) ist in der Kanne T 0.9 (nur Tee) und in Kanne K 1.1 (1 Kaffe, 0.1 Tee).
- Nach dem Zweiten Umfüllen ist in Kanne T 1 und in Kanne K auch.
- Der Löffel beim zweiten umschütten enthielt (wenn der Inhalt sehr gleich gemischt war) 1/11 Tee. Also ist in der T Kanne 0.9 Tee + (1/11 von 0.1 = 0.009) 0.009 Tee + 0.09 Kaffe.
=> 0.909 Tee + 0.09 Kaffe in Kanne Tee
und
=> 0.909 Kaffe + 0.09 Tee in Kanne Kaffe

Müsste also gleich verteilt sein... aber irgendwie hab ich das Gefühl ich hab was falsch ;-)

mfg
sommer87 Auf diesen Beitrag antworten »

a) hab ich genauso gerechnet Augenzwinkern

b)

habs nochmal gerechnet:

1 Kanne sind bei mir jetzt mal 100 Löffel :P

Teekanne: 100 Tee (100 % Tee)
Kaffeekanne: 100 Kafee (100 % Kaffee)

1 Tee in Kaffeekanne:

Teekanne: 99 Tee (100 % Tee)
Kaffeekanne: 100 Kafee + 1 Tee (98,99% Kaffee; 1,01% Tee)

1 Gemisch in Teekanne:

Teekanne: 99 Tee + 0,98 Kaffee + 0,01 Tee (99,00% Tee; 0,97% Kaffee)
Kaffeekanne: 99,02 Kafee + 0,99 Tee (98,99% Kaffee; 1,01% Tee)

Das hieße es wäre mehr Tee im Kaffee.

Aber ich glaube nicht, dass das stimmt :P
Poff Auf diesen Beitrag antworten »

b )

... bin zu faul es 'niederzuschreiben', aber es ist in beiden prozental
gleich viel drin von dem jeweiligen anderen . Augenzwinkern


.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Den Raum, den in der Teekanne anfänglich ein Löffel Tee eingenommen hat, nimmt jetzt ein Gemisch aus Tee und Kaffee ein. Was davon Kaffee ist, muß dem Kaffee in der Kaffeekanne fehlen und wurde dort durch die gleiche Menge Tee ersetzt.
Also ist in der Teekanne genau so viel Kaffee wie in der Kaffeekanne Tee.

Ich kenne dieses Rätsel als Weißwein-Rotwein-Rätsel.
 
 
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

ja die 0000000009 ist natürlich falsch!

hm ich überleg grad eine Zahl die a erfuüllt mit möglichst wenig Nullen. Also 1 Null ist mindestens zu schreiben!
navajo Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich glaub nicht dass das mit viel weniger Nullen geht, denn die Quersumme der Zahl muss ja kleiner gleich 10 bleiben. Sonst kriegt man ja garnicht die ganzen Ziffern unter.

Hmm gehts denn überhaupt mit 5 Nullen?

*grübel*

Ich kriegs jedenfalls nicht hin ^^
fakultaet Auf diesen Beitrag antworten »

Gibt es überhaupt mehrere Lösungen? Komme immer nur auf die eine.

mfg
Shopgirl Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Mazze und andere,

bei a) gibt es angeblich nur die eine Lösung. Versuchen wir, das zu beweisen.

Die Quersumme der Zahl muss gleich 10 sein, da ja genau 10 Ziffern verwendet werden. Damit können die 6., 7., 8. und 9. Stelle nur noch die Werte 0 oder 1 haben.
Man kann nun für die 9., 8., 7. Stelle den Wert 1 ausschließen:
Wäre 9. = 1, dann müsste eine andere Stelle gleich 9 sein, das kann nur 0. (xxxxxxxx19) oder 1. (9xxxxxxx1x) sein, in jedem Fall wäre die Quersumme von 10 dann erreicht. Im ersten Fall fehlt die mindestens eine 1, und im zweiten Fall müssten alle x gleich 0 sein, was wegen 10. = 0 nicht sein kann.Es ist also die 9. Stelle gleich 0.
Wäre 8. = 1, dann müsste eine andere Stelle gleich 8 sein, das kann nur 0. (xxxxxxx108 ) oder 1. (8xxxxxx10x) sein. Im ersten Fall müssten alle x = 0 sein, inklusive 1., was nicht sein kann. Im zweiten Fall müssten alle x = 1 sein, was ebenfalls nicht sein kann (denn es gibt z.B. keine 2). Also hat die 8. Stelle den Wert 0.
Wäre 7. = 1, dann müsste eine andere Stelle gleich 7 sein, das kann nur 0. (xxxxxx1007) oder 1. (7xxxxx100x) sein. Im ersten Fall: Da 1. mindestens 1 ist, müssen die anderen sechs x gleich 0 sein, dann haben wir aber zweimal 1, was nicht sein kann. Im zweiten Fall: Alle x müssen gleich 1 sein, was nicht sein kann.
Damit wissen wir dass die Zahl so aussehen muss:
xxxxxx000x.

Wer möchte weitermachen? smile

Nachtrag:
Ihr hattet übrigens Glück, dass ihr mit der Iteration bei 0000000009 beginnend auf die Lösung gekommen seid. Ich habe gerade alle Ziffernkombinationen getestet, deren 6., 7., 8. und 9. Stelle 0 oder 1 ist: 7,1 Millionen mal gelangt man zur Lösung 2100010006, und 8,8 Millionen mal gelangt man zum 2-Zyklus 1010010007-3000001006. Und das stets innerhalb von höchstens 7 Schritten.

Alles liebe,
Shopgirl
Poff Auf diesen Beitrag antworten »

Shopgirl,

du bist mir zu klug für dein Alter ; -))


Augenzwinkern
Shopgirl Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Poff,

dieser Beweis ist leider nicht von mir, und weiter weiss ich ihn nicht mehr unglücklich
Trotzdem danke für die Blumen. Mit Zunge

Soll ich dir das binnen 2h aus dem Ärmel geschüttelte "Nichtprogramm" schicken? Augenzwinkern

Alles liebe,
Shopgirl
Poff Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Shopgirl,

lieb von dir gemeint, aber braucht nicht machen.
Mir wird eh immer schwindlig bei so viel Zahlen ...

soo auch meine besondere Hochachtung.


weißt, beim 'Denken' tut mir meist der Kopf weh, versuchs deshalb
wenn irgend ohne ...

klappt nur nicht immer . Augenzwinkern


smile
juergen Auf diesen Beitrag antworten »

Bei der Frage b) braucht man gar nicht viel zu rechenen, sondern nur etwas nachdenken :P

Also ich tue einen ganzen Löffel von Tee in die Kaffeekanne.
Dann tue ich einen Löffel aus der Kaffeekanne in die Teekanne. Hierbei handelt es sich aber um eine Mischung: Ich tue also nicht einen ganzen Löffel Kaffe in die Teekanne, sondern nur einen großen Teil Kaffe und einen kleinen Teil Tee. Der Kaffeeanteil ist also um genau den Teil kleiner, den der Tee in dem Gemisch ausmacht. Damit fliest weniger Kaffe in den Tee und gleichzeitig entnehme ich dem Kaffe auch etwas Tee - damit gleicht sich beides aus.

War das nun verständlich verwirrt
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

@ juergen
Ich habe das in meinem Beitrag weiter oben so ähnlich schon einmal ausgeführt.


Heute hatte ich übrigens meine letzte Stunde vor den Sommerferien in meiner 6. Klasse (die Schüler sind etwa 12 Jahre alt). Da dachte ich, die beschäftigst du etwas mit einer Knobelaufgabe, und habe die 2100010006-Aufgabe gestellt.
Pustekuchen!
Nach gerade einmal 5 Minuten hatten die ersten beiden Schüler schon die Lösung!
Shopgirl Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Poff,
ja, da sind viele Zahlen zu betrachten. Das mag ich eigentlich nicht, aber diese Aufgabe ist trotzdem interessant.

Hallo Leopold,
deine Schüler konnten dir aber nicht sagen, warum das die einzige Lösung ist, oder?

Ich hab gestern abend noch weiter an der Aufgabe getüftelt, und brauchte eine ganze Seite voller Fallunterscheidungen für den Beweis. Das muss doch einfacher gehen...

Alles liebe,
Shopgirl
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

In PM (Praxis der Mathematik in der Schule), 1/2002, Seite 27f. äußert sich Professor Pickert zu dem Problem. Etwas allgemeiner definiert er für n positiv ganzzahlig



und bestimmt alle Abbildungen



mit der Eigenschaft



(worin die Striche die Mächtigkeit der Menge anzeigen).

In einer kleinen Variation ist das das 21...6-Problem für eine n-stellige Zahl. Er findet das folgende Ergebnis:

1. Für gibt es kein f wie gefordert.
2. Für n=4 gibt es genau zwei Abbildungen, nämlich 2 0 2 0 und 1 2 1 0 .
3. Für n=5 gibt es nur die Abbildung 2 1 2 0 0 .
4. Für n>6 existiert genau eine Abbildung, nämlich (n-4) 2 1 0 ... 0 1 0 0 0 (0 ... 0 sind hierbei n-7 Nullen).
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