Relation für homogene Funktion vom Grad a

03.04.2013, 22:36

Namenloser324

Relation für homogene Funktion vom Grad a

Heho, hab vor einigen Tagen folgenden Satz bewiesen:
de.wikipedia.org/wiki/Homogene_Funktion#Positive_Homogenit.C3.A4t

Dies tat ich mithilfe von Kurven im R^n, hier kurz mein Beweis, aber ich bin etwas unzufrieden:

Setze Kurve $\begin{eqnarray*} \, \gamme(t) \, \end{eqnarray*}$ wie folgt
$\begin{eqnarray*} \gamma (t) = t*x,\, x \, \epsilon \, \mathbb{R}^{n}\setminus {0} \, , t \, \epsilon [a,b], 0 < a <= 1 , b > a \end{eqnarray*}$

Gilt nun für eine Funktion $\begin{eqnarray*} \, f(t*x) = t^{\alpha}*f(x) \, \end{eqnarray*}$ , so erhält man einmal als partelle Ableitung nach t:

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial f(tx)}{\partial t} \, = \frac{\partial t^{\alpha}*f(x)}{\partial t} = \alpha * t^{\alpha - 1} * f(x) \end{eqnarray*}$

Interpretiert man das nun $\begin{eqnarray*} \, f(tx) \, \end{eqnarray*}$ als Kurve $\begin{eqnarray*} \, \gamme(t) \, \end{eqnarray*}$ die in f(x) eingesetzt wurde, erhält man mittels Kettenregel(und vergleich mit vorheriger Gleichung):

$\begin{eqnarray*} \left \langle gradf(tx), \right x \rangle = \alpha * t^{\alpha-1}*f(x) \end{eqnarray*}$

Multiplikation mit t liefert:
\left \langle gradf(tx), \right tx \rangle = \alpha * t^{\alpha}*f(x) = \alpha * f(t*x)

Setzte t = 1 und erhalte die Gleichung.
Ist das ok?
Wirkt irgendwie etwas seltsam.
Die Grenzen von t bei der Kurve habe ich deswegen so gewählt, da t = 0 zum Nullvektor führen würde, für den die Ausgangsbedingung der Funktion nicht gilt.
Ferner muss 1 im Definitionsbereich der Kurve liegen, damit ich am Ende die 1 einsetzen darf.
Wirkt irgendwie hölzern auf mich^^

03.04.2013, 22:38

Namenloser324

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Tut mir leid, dass die Latexcodes nicht alle ordentlich geworden sind. Gibt ja leider keine Vorschau-Funktion(beim Erstellen eines Themas) :/
Hoffe der Sinn ist dennoh zu erkennen!

04.04.2013, 00:39

RavenOnJ

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Zitat:

Original von Namenloser324
Gibt ja leider keine Vorschau-Funktion(beim Erstellen eines Themas) :/

Doch die gibt es, auf dem Button steht "Vorschau".

04.04.2013, 00:44

For-Real

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Zitat:

Original von RavenOnJ

Zitat:

Original von Namenloser324
Gibt ja leider keine Vorschau-Funktion(beim Erstellen eines Themas) :/

Doch die gibt es, auf dem Button steht "Vorschau".

Leider nicht über das PHP-Frage-Tool in der Navigation Augenzwinkern

@Namenloser:
"Zitiere" dich selber und ändere die Latex-Codes, sodass sie "Sinn" machen. Beim Neue-Antwort-Erstellen gibt's auch die Vorschau! Wink

04.04.2013, 00:49

RavenOnJ

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RE: Relation für homogene Funktion vom Grad a
Hab das mal interpretiert:

Zitat:

Original von Namenloser324
Heho, hab vor einigen Tagen folgenden Satz bewiesen:
de.wikipedia.org/wiki/Homogene_Funktion#Positive_Homogenit.C3.A4t

Dies tat ich mithilfe von Kurven im $\begin{eqnarray*} \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ , hier kurz mein Beweis, aber ich bin etwas unzufrieden:

Setze Kurve $\begin{eqnarray*} \, \gamma(t) \, \end{eqnarray*}$ wie folgt
$\begin{eqnarray*} \gamma (t) = tx,\, x \in \mathbb{R}^{n}\setminus \{0\} \, , t \in [a,b], 0 < a \le 1 , b > a \end{eqnarray*}$

Gilt nun für eine Funktion $\begin{eqnarray*} \, f(tx) = t^{\alpha}f(x) \, \end{eqnarray*}$ , so erhält man einmal als partelle Ableitung nach t:

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial f(tx)}{\partial t} \, = \frac{\partial t^{\alpha}f(x)}{\partial t} = \alpha t^{\alpha - 1} f(x) \end{eqnarray*}$

Interpretiert man das nun $\begin{eqnarray*} \, f(tx) \, \end{eqnarray*}$ als Kurve $\begin{eqnarray*} \, \gamma(t) \, \end{eqnarray*}$ die in f(x) eingesetzt wurde, erhält man mittels Kettenregel(und vergleich mit vorheriger Gleichung):

$\begin{eqnarray*} \langle \operatorname{grad} f(tx), x \rangle = \alpha t^{\alpha-1}f(x) \end{eqnarray*}$

Multiplikation mit t liefert:
$\begin{eqnarray*} \langle \operatorname{grad} f(tx), tx \rangle = \alpha t^{\alpha}f(x) = \alpha f(tx) \end{eqnarray*}$

Setzte t = 1 und erhalte die Gleichung.
Ist das ok?
Wirkt irgendwie etwas seltsam.
Die Grenzen von t bei der Kurve habe ich deswegen so gewählt, da t = 0 zum Nullvektor führen würde, für den die Ausgangsbedingung der Funktion nicht gilt.
Ferner muss 1 im Definitionsbereich der Kurve liegen, damit ich am Ende die 1 einsetzen darf.
Wirkt irgendwie hölzern auf mich^^

04.04.2013, 00:51

RavenOnJ

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@for-real
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