Schnittwinkel+gerade zweier Ebenen 2

04.04.2013, 01:10

Tipso

Schnittwinkel+gerade zweier Ebenen 2

Hallo,

Vorab:

Egal in welcher Form ich die Ebenen angegeben habe, ich kann sie in jede Form umrechnen?

-------------------------------------------------------------------

Geg.:
$\begin{eqnarray*} A = 3x + 10 y + 2z = 49 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} B = x+ 4y + 2z = 21 \end{eqnarray*}$

Macht es einen großen Unterschied ob nach dem = eine Zahl steht statt 0?
Aufgabe:
Berechne die Schnittgerade, wenn es eine gibt ansonsten den Abstand und den Schnittwinkel.

------------------

Mein Plan:

Ich entnehme die Normalv..
Wenn die Normalv. ein vielfaches von dem anderen ist, habe ich parallele Ebenen?
Wenn nicht, schneiden sie sich.
Windschiefe ebenen gibt es nicht.

------------------------------------------

Wenn sie sich schneiden, muss ich die Ebenen gleichsetzen um den Schnittpunkt zu erhalten.

lg

04.04.2013, 01:21

mYthos

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Nicht den Schnittpunkt, sondern die Schnittgerade.
Auch die Zahlen, die rechts stehen, bewirken natürlich einen gewissen Unterschied bei den Ebenen. Allerdings etwas bleibt gleich. Was?

Und was willst du jetzt? In der Überschrift steht doch ganz was anderes.

mY+

04.04.2013, 01:23

Integralos

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Hallo,

prinzipiell ist es egal, ob du =0 oder =Zahl schreibst.

Deine ersten Ansätze sind richtig.
Allerdings würde ich die Ebenen nicht gleichsetzen, sondern die Normalenformen als Gleichungssystem mit 2 Gleichungen und 3 Unbekannten sehen. Daraus kann man dann 2 eliminieren und man erhält eine Geradengleichung der Schnittgeraden.
Schnittwinkel kriegst du auch über die Normalenvektoren raus.

lg

04.04.2013, 01:41

Tipso

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Hi,

Habe die Überschrift verbessert. Ich will natürlich beides.

Zitat:

Schnittwinkel kriegst du auch über die Normalenvektoren raus.

Skalares Prod. der Normalv.,
durch die Beträge der Normalv.

Es gibt irgendwie sehr viele Methoden dafür.
Ich könnte auch von jeweils einem Richtungsv. pro Ebene das kreuzprod. berechnen.
Habe damit den Richtungsv. der Schnittgeraden.

Ich würde es gerne auf die von @Integralos empfohlene Methode berechnen.

a.
3x + 10y + 2z = 49
b.
x + 4y+ 2z = 21|-
------------------------------
2x + 6y = 28
------------------------------
------------------------------

Zitat:

Daraus kann man dann 2 eliminieren und man erhält eine Geradengleichung der Schnittgeraden.

Wenn ich so weitermache erhalte ich die einzelnen Variablen. verwirrt

Ps.
Ich werde auch schlafen gehen und Morgen mit frischer Energie an die Aufgabe herangehen.

04.04.2013, 11:27

Dopap

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a.
3x + 10y + 2z = 49
b.
x + 4y+ 2z = 21|-
------------------------------
2x + 6y = 28
------------------------------
------------------------------

Zitat:

Daraus kann man dann 2 eliminieren und man erhält eine Geradengleichung der Schnittgeraden.

Wenn ich so weitermache erhalte ich die einzelnen Variablen. verwirrt

oben steht ein lineares Gleichungssystem, zwischen den Gleichungen steht "und"
d.h das System bleibt ein System, es entsteht nicht eine dritte Gleichung wie man meinen könnte.

$\begin{eqnarray*} \rm LGS:\bigg\{\begin{array}{rr} 3x + 10y + 2z = 49 \\ x+4y+2z=21\end{array} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \rm LGS:\bigg\{\begin{array}{rr} 3x + 10y + 2z = 49 \\ 2x+6y=28\end{array} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \rm LGS:\bigg\{\begin{array}{rr} 9x + 30y + 6z = 147 \\ 10x+30y=140\end{array} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \rm LGS:\bigg\{\begin{array}{rr} -x + 6z = 7 \\10 x+30y=140\end{array} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \rm LGS:\bigg\{\begin{array}{rr} -x + 6z = 7 \\ x+3y=14\end{array} \end{eqnarray*}$

und damit sind wir fast fertig. Da "x" 2mal vorkommt wird nach z und y umgestellt

$\begin{eqnarray*} \rm LGS:\bigg\{\begin{array}{rr} z =\frac 16 x+ \frac 76 \\ \\ y= -\frac 13 x +\frac {14}{3}\end{array} \end{eqnarray*}$

"x" ist nun beides mal rechts die unabhängige Variable = Parameter. Setzen wir deshalb $\begin{eqnarray*} x=r \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x=r \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y= -\frac 13 r +\frac {14}{3} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} z =\frac 16 r+ \frac 76 \end{eqnarray*}$

das kann man aber in Vektorenform schreiben...

04.04.2013, 13:05

Tipso

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Ich kenne Gleichungen nur als solche die addiert, eliminiert oder eingesetzt werden um die Variablen zu erhalten.
----------------------------------------

Ich hätte auch x oder y eliminieren können, ich erhalte jedesmal zwei Vektoren der Ebenen. Jeweils eines von einer Ebene.

-----------------------------------------

$\begin{eqnarray*} y= -\frac 13 r +\frac {14}{3} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} z =\frac 16 r+ \frac 76 \end{eqnarray*}$

Sind ja Geradengleichungen:

y = k*x+d

Edit:
Die Vektoren, die ich erhalte sind 2 Dimensional.
Wie erhalte ich 3 Dimensionale Vektoren?

lg

04.04.2013, 13:30

Dopap

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Zitat:

Original von Dopap

$\begin{eqnarray*} x=r \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y= -\frac 13 r +\frac {14}{3} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} z =\frac 16 r+ \frac 76 \end{eqnarray*}$

das kann man aber in Vektorenform schreiben...

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} r \\ -1/3\cdot r \\ \ 1/6 \cdot r \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ 14/3 \\ 7/6 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und nun die Preisfrage: Was ist das ?

04.04.2013, 14:32

Tipso

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hi,

Zitat:

oben steht ein lineares Gleichungssystem, zwischen den Gleichungen steht "und"
d.h das System bleibt ein System, es entsteht nicht eine dritte Gleichung wie man meinen könnte.

Verstehe nicht was du meinst.

------------------------------------------

Es ist eine Geradengleichung.

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ \frac{14}{3} \\ \frac{7}{6} \end{pmatrix} + r\begin{pmatrix} 1 \\ -\frac{1}{3} \\ \ \frac{1}{6} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

04.04.2013, 15:14

Dopap

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Zitat:

oben steht ein lineares Gleichungssystem, zwischen den Gleichungen steht "und"
d.h das System bleibt ein System, es entsteht nicht eine dritte Gleichung wie man meinen könnte.

TIPSO: Verstehe nicht was du meinst.

die beiden Gleichungen bleiben immer 2 Gleichungen. Nur das Aussehen ändert sich von Schritt zu Schritt.

TIPSO:Es ist eine Geradengleichung

viel besser: Es ist die gesuchte Schnittgerade !!

04.04.2013, 15:33

Tipso

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$\begin{eqnarray*} g: \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ \frac{14}{3} \\ \frac{7}{6} \end{pmatrix} + r\begin{pmatrix} 1 \\ -\frac{1}{3} \\ \ \frac{1}{6} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ [/quote]

Es gibt aber auch andere Methoden die zum selben Ziel führen. Freude

------------------

Zitat:

die beiden Gleichungen bleiben immer 2 Gleichungen. Nur das Aussehen ändert sich von Schritt zu Schritt.

Insgesamt habe ich drei Gleichungen.

2 gleichgebliebene und 1 veränderte.
Ich nehme dann immer eine von den gleichgebliebenen und 1 veränderte.

Ich kann ja auch von den 2 Anfangsgleichungen jeweils verschiedene Variablen eliminieren und daraufhin die beiden neuen Gleichungen miteinander verknüpfen um noch eine Variable zu eliminieren.

Habe etwas herumprobiert.

Die obere Gleichung wird immer behalten und die untere, die dazuaddiert oder subtrahiert oder etwas eingesetzt wird, verändert sich.

Bei Gleichungsst, mit 3 Gleichungen kommen die von mir angedeutete Situation vor.

Ich muss zweimal etwas zu meiner Anfangsgleichung zurück.

lg

04.04.2013, 15:46

Dopap

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Zitat:

Original von Tipso

Zitat:

die beiden Gleichungen bleiben immer 2 Gleichungen. Nur das Aussehen ändert sich von Schritt zu Schritt.

Insgesamt habe ich drei Gleichungen.

2 gleichgebliebene und 1 veränderte.

nein, nein, nein. unglücklich

Die zulässigen Operationen lauten:

1.) das Multiplizieren einer Gleichung mit einer Zahl ungleich Null.

2.) das Addieren ( der Kopie ) einer Gleichung auf eine andere Gleichung.

------> eine Gleichung bleibt, die andere ändert sich. ---->
es bleibt bei 2 Gleichungen.

Aber vielleicht sollte man dazu einen eigenen Thread führen.

04.04.2013, 15:51

Tipso

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Werde dazu später einen neuen Thread eröffnen.

Eine Frage habe ich dazu dennoch.

Es gibt doch nicht nur das Additionsverfahren sondern auch das Eliminationsverfahren und das Einsetzungsverfahren.

Warum ist also nur eine "Addition" erlaubt?

lg

04.04.2013, 16:06

Dopap

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ich kenne das Gleichsetzungsverfahren und das Einsetzverfahren.

Ja, richtig hab' es ganz vergessen, weil man das eigentlich nur in Sonderfällen macht.

Ab 3 Gleichungen besteht die Gefahr von Rechenfehler und Unübersichtlichkeit.

Das Additionsverfahren ist zudem programmierbar und deshalb auf dem GTR implementiert.

04.04.2013, 16:18

Tipso

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Werde die nächsten Tage auch dazu einen eigenen Thread widmen.
Danke für deine Geduld/Hilfe @Dopap.

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