Konvergenz von Reihen

04.04.2013, 14:50

weizenhuhn

Konvergenz von Reihen

Hallo!

Ich bin grad neu im Themengebiet unendliche Reihen und wäre sehr
froh über den richtigen Ansatz zum zeigen der Konvergenz solcher.
Ich weiß schon dass es dazu diverse Kriterien gibt, aber mir fehlt
noch der richtige Ansatz wie man den vorgeht.

Konkret habe ich diese 2 Beispiele:

$\begin{eqnarray*} \sum _{ n\ge 0 }^{ }{ \frac { 3n²+1 }{ 5n³-2 } } \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} \sum _{ n\ge 0 }^{ }{ \frac { n! }{ { n }^{ n } } } \end{eqnarray*}$

Zur ersten Aufgabe hätte ich gedacht ich benutze das Quotientenkriterium.
Hier muss ich also zeigen dass der Betrag von $\begin{eqnarray*} \frac { { a }_{ n+1 } }{ { a }_{ n } } <1 \end{eqnarray*}$ .

Jetzt hab ich also eingesetzt und soweit umgeformt:
$\begin{eqnarray*} \frac { (5k³-2)*(3(k+1)²+1) }{ (3k²+1)*(5(k+1)³-2) } \end{eqnarray*}$

Ich hab auch mal Klammern ausmultipliziert:
$\begin{eqnarray*} \frac { 15 k^5+30 k^4+15 k^3-6 k^2-12 k-6}{ 15 k^5+45 k^4+50 k^3+30 k^2+15 k+5 } \end{eqnarray*}$

Mein nächster Ansatz wäre jetzt, dass ich wie bei Folgen, im Nenner und Zähler
durch die höchsten Potenzen dividiere, also $\begin{eqnarray*} { k }^{ 5 } \end{eqnarray*}$ .. dann würde ich auf folgenden Term kommen:

$\begin{eqnarray*} \lim _{ k\rightarrow \infty }{ \frac { -6/k^{ 5 }-12/k^{ 4 }-6/k^{ 3 }+15/k^{ 2 }+30/k+15 }{ 5/k^{ 5 }+15/k^{ 4 }+30/k^{ 3 }+50/k^{ 2 }+45/k+15 } } =\frac { 15 }{ 15 } =1 \end{eqnarray*}$

Somit wäre doch das Quotientenkriterium 1<=1 erfüllt?!

Ist mein Vorgehen korrekt bzw. gibts einfachere Lösungen?

Beim zweiten Beispiel fehlt mir leider jeglicher Ansatz unglücklich

Ich weiß nur durch testen, dass die Reihe scheinbar gegen 1.8... konvergiert

04.04.2013, 14:57

Mulder

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RE: Konvergenz von Reihen

Zitat:

Original von weizenhuhn
Zur ersten Aufgabe hätte ich gedacht ich benutze das Quotientenkriterium.

Da ist bei solchen "rationalen" Folgen (also wenn du Polynome in Zähler und Nenner hast) alle Mühe vergebens, da wirst du immer auf 1 als Grenzwert kommen. Und damit - lies die Definition nochmal durch - liefert das Quotientenkriterium keine Aussage. Bringt also nichts. Gleiches gilt für das Wurzelkriterium. Das kannst du dir grundsätzlich schenken, das würde ich mir merken, dann verdaddelt man ggf. auch in einer Klausur keine unnötige Zeit. Du bist ja jetzt auch auf 1 gekommen, das hätte man ohne Rechnung schon vorhersehen können. Augenzwinkern

Nimm lieber das Minorantenkriterium und schätze gegen die harmonische Reihe ab.

Bei der zweiten hingegen kannst du das Quotientenkriterium benutzen.

04.04.2013, 15:46

lagrange92

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RE: Konvergenz von Reihen
Betrachte einfach mal beim Zweiten den Quotienten (schon geraten), weil bei Potenzen und Fakultäten passt das meist (als Tipp).
Und beim Ersten verbachlässige mal die Konstanten und vergleiche die Exponenten.

04.04.2013, 15:58

weizenhuhn

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Danke für den Tipp!
Liege ich richtig, dass mein Fehler in der Definition des Quotientenkriteriums, darin lag, dass es nicht <=1 sondern <1 heißen soll? Wobei korrekt in unserem Buch steht:

$\begin{eqnarray*} \frac { { a }_{ n+1 } }{ { a }_{ n } } \le q<1 \end{eqnarray*}$

Das heißt also der Betrag dieses Ausdrucks muss eine Kommazahl sein, seh ich das richtig? Und es muss also eine Zahl q, zwischen diesem Betrag und der Zahl 1 geben?!

Als Minorante hab ich jetzt mal die Harmonische Reihe gewählt, da diese
ja sicher divergiert.
Also mein Lösungsansatz wäre jetzt folgender zum ersten:

$\begin{eqnarray*} \frac { 3n²+1 }{ 5n³-2 } >\frac { 1 }{ n } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =3n³+n>5n³-2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =-2n³+n+2>0 \end{eqnarray*}$

Somit hab ich gezeigt, dass die Reihe sicher größer ist als die verwendete Minorante, sehe ich das richtig??

Beim zweiten Bsp. hänge ich noch etwas bei einem Umformungsschritt.. Soweit bin ich gekommen:

$\begin{eqnarray*} \frac { \frac { (n+1)! }{ { (n+1) }^{ n+1 } } }{ \frac { n! }{ { n }^{ n } } } =\frac { { n }^{ n }*n!(n+1) }{ n!{ (n+1) }^{ n+1 } } =\frac { { n }^{ n } }{ { (n+1) }^{ n } } \end{eqnarray*}$

04.04.2013, 16:12

lagrange92

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1. $\begin{eqnarray*} <1 \vee >1 \end{eqnarray*}$ hast du korrekt verstanden.
2. Vielmehr ist der Grenzwert a des Betrages zu betrachten und wenn dieser <1 ist, gilt insbesondere $\begin{eqnarray*} a \leq q <1 \Rightarrow a<1 \end{eqnarray*}$ uns so absolute Konvergenz.
3. Begründe bitte mal wieso die harmonische Reihe geeignet ist. Außerdem muss da ein $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ zwischen deine Reihe und die Minorante.
$\begin{eqnarray*} \frac { 3n²+1 }{ 5n³-2 } \geq \frac { 1 }{ n } \geq 0 \end{eqnarray*}$
4. Es sind $\begin{eqnarray*} n \wedge 2 < -2n^3 \end{eqnarray*}$ untersuche bei der Ungleichung den Ausdruck auf Nullstellen, dann kannst du geeignet argumentieren.
5. Ziehe mal alles in die Potenz und betrachte den Grenzwert für $\begin{eqnarray*} n \rightarrow \infty \end{eqnarray*}$ . (Tipp: Teile einmal durch n, was fällt auf?)

04.04.2013, 16:14

Mulder

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Zitat:

Original von weizenhuhn
Wobei korrekt in unserem Buch steht:

$\begin{eqnarray*} \frac { { a }_{ n+1 } }{ { a }_{ n } } \le q<1 \end{eqnarray*}$

Ja, das heißt doch auch, dass es echt kleiner 1 sein muss. Denn das q ist hier doch auch als echt kleiner 1 gefordert. Und der Quotient muss kleinergleich dem q sein, also genau wie das q echt kleiner 1. Jedenfalls für fast alle n (also bis auf endlich viele Ausnahmen). Der Grenzwert des Quotienten darf also nicht 1 sein, denn dann kannst du ein solches q nicht mehr angeben.

Zitat:

Original von weizenhuhn
$\begin{eqnarray*} \frac { 3n²+1 }{ 5n³-2 } >\frac { 1 }{ n } \end{eqnarray*}$

Diese Ungleich ist noch nicht einmal richtig. Schon für n=2 nicht mehr. Ein bisschen vorsichtiger musst du da schon sein. Und selbst wenn das richtig wäre, wäre es so nicht nachvollziehbar gewesen. Mach das in mehreren, nachvollziehbaren Schritten.

$\begin{eqnarray*} \frac{3n^2+1}{5n^3-2} > \frac{3n^2+1}{5n^3} > ... \end{eqnarray*}$

Und so weiter, in sinnvollen, jeweils nachvollzielhbaren Schritten. Dieser eine Schritt von mir ist leicht nachvollziehbar. Ich habe den Nenner vergrößert, also wird der Bruch kleiner. So solltest du fortfahren.

Gegen die harmonische Reihe abzuschätzen bedeutet auch nicht, dass es zwingend 1/n sein muss. Es geht jedes a/n mit irgendeiner reellen Zahl a. Denn konstante Faktoren haben auf Konvergenz oder Divergenz keinen Einfluss, weil du sie vor die Summe ziehen kannst.

Bei der zweiten sollte dir jetzt der bekannte Grenzwert

$\begin{eqnarray*} \exp(x) = \lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac xn \right)^n \end{eqnarray*}$

weiter helfen. Bastel da mal ein bisschen rum. Es fehlt nicht mehr viel.

05.04.2013, 12:12

weizenhuhn

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danke für die Hilfe..

also beim ersten steh ich auf dem Schlauch. Ich hab das gefühl wie wenn ich
hier einfach irgendwas noch nicht kenne.. Ich hab mal Schritt für Schritt
so fortgesetzt wie von dir beschrieben:

$\begin{eqnarray*} \frac { 3n²+1 }{ 5n³-2 } >\frac { 3n²+1 }{ 5n³ } >\frac { 3n² }{ 5n³ } >\frac { n² }{ 5n³ } >\frac { n }{ 5n³ } =\frac { 1 }{ 5n² } \end{eqnarray*}$

Aber die 5 im Nenner kann ich jetzt nicht mehr weglassen, weil der neue Term (1/n^2)dann ja größer wäre. Somit frag ich mich, ob ich nicht eine andere Minorante bräuchte, da ich nicht auf a/n komme?

Außerdem dürfte man im Nenner doch gar nicht das -2 entfernen, da die summe ja >= 0 ist und man sonst durch 0 dividieren würde, oder?

Das zweite Bsp. dürfte ich jetzt allerdings fertig haben:

$\begin{eqnarray*} { \left( \frac { n }{ n+1 } \right) }^{ n }={ \left( \frac { n+1-1 }{ n+1 } \right) }^{ n }={ \left( \frac { n+1 }{ n+1 } -\frac { 1 }{ n+1 } \right) }^{ n }={ \left( 1-\frac { 1 }{ n+1 } \right) }^{ n } \end{eqnarray*}$

nun hätte ich anhand der Bernoulli Ungleichung gezeigt, dass:

$\begin{eqnarray*} { (1+x) }^{ n }>1+xn \end{eqnarray*}$

also eingesetzt

$\begin{eqnarray*} { (1+\left( -\frac { 1 }{ n+1 } \right) ) }^{ n }>1+\left( -\frac { 1 }{ n+1 } \right) n \end{eqnarray*}$

gilt, also jedenfall größer als 1, was ich doch für das Quotientenkriterium zeigen sollte. wobei ich mir nicht sicher ob das erlabut ist,
da der Ausdruck x nur größer ist, wenn n gerade ist.. bin schon langsam am verzweifeln unglücklich

Kann man hier nicht auch den Binomischen Satz verwenden?

05.04.2013, 12:28

Mulder

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Zitat:

Original von weizenhuhn
$\begin{eqnarray*} \frac { 3n²+1 }{ 5n³-2 } >\frac { 3n²+1 }{ 5n³ } >\frac { 3n² }{ 5n³ } >\frac { n² }{ 5n³ } >\frac { n }{ 5n³ } =\frac { 1 }{ 5n² } \end{eqnarray*}$

Da warst du jetzt zu brutal. Du musst doch eine divergente Minorante finden. Du hast jetzt aber eine konvergente Minorante gefunden und die ist wertlos. Du hast als Minorante zwischendurch gehabt:

$\begin{eqnarray*} ... > \frac{3n^2}{5n^3} = \frac{3}{5n} \end{eqnarray*}$

Das reicht doch. Die 3/5 kannst du vor die Reihe ziehen (darauf habe ich schon oben hingewiesen) und

$\begin{eqnarray*} \frac{3}{5} \sum \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$

ist divergent. Also ist auch deine Ausgangsreihe divergent, denn da sind die Folgenglieder, die du aufsummierst, ja für jedes n noch größer, also kann die Reihe nicht konvergieren.

Immer im Auge behalten, wohin du eigentlich willst. Du hast jetzt zwischendurch übersehen, dass du schon eine Lösung hattest.

Naürlich hätte man auch noch die 3 aus dem Zähler rausnehmen können, es gibt da i.A. nicht DIE EINE Lösung. Man hat beim Abschätzen viel Spielraum, man muss halt nur wissen, was man tut. Augenzwinkern

Zitat:

Original von weizenhuhn
Außerdem dürfte man im Nenner doch gar nicht das -2 entfernen, da die summe ja >= 0 ist und man sonst durch 0 dividieren würde, oder?

Lass die Reihe einfach bei n=1 loslaufen. Es geht nur um Konvergenz oder Divergenz, da haben endlich viele Summanden ohnehin keinen Einfluss drauf. Entscheidend ist, was im Unendlichen so passiert. Du könntest auch bei n=1000000000 anfangen, das wäre immer noch okay. Wenn

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=100000000}^{\infty} a_i \end{eqnarray*}$

divergiert, dann auch

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^{\infty} a_i \end{eqnarray*}$

und umgekehrt. Denn die ersten endlich vielen Folgenglieder, auch wenn es zig Millionen sind, nehmen in der Summe immer nur einen endlichen Wert an.

Zitat:

Original von weizenhuhn
$\begin{eqnarray*} { (1+\left( -\frac { 1 }{ n+1 } \right) ) }^{ n }>1+\left( -\frac { 1 }{ n+1 } \right) n \end{eqnarray*}$

gilt, also jedenfall größer als 1, was ich doch für das Quotientenkriterium zeigen sollte. Ist das Korrekt?

Was willst du hier denn mit Bernoulli? Und wieso soll das auf der rechten Seite immer größer 1 sein? Der zweite Summand ist doch negativ, also ist das auf jeden Fall kleiner 1. Das ist sogar eine Nullfolge.

Folge meinem Hinweis, den ich dir schon gegeben habe.

05.04.2013, 17:42

weizenhuhn

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danke für die sehr verständliche Erklärung.

Ich hab mich jetzt mal erst einlesen müssen bzgl. Potenzreihen und der Exp. Funktion..

Also die folge $\begin{eqnarray*} { \left( \frac { n }{ n+1 } \right) }^{ n } \end{eqnarray*}$ ist scheinbar gleich mit $\begin{eqnarray*} \frac { 1 }{ e } =0,367879.. \end{eqnarray*}$ ??

Aber wie komm ich von meiner Form darauf?
Bringt mir die Umformung die ich gemacht habe auf $\begin{eqnarray*} { \left( 1-\frac { 1 }{ n+1 } \right) }^{ n } \end{eqnarray*}$ eigentlich etwas?

Ich wüsste jetzt ehrlich gesagt nicht, wie ich auf die Form komme in deinem Hinweis, da ich ja 1 - term habe unglücklich

05.04.2013, 17:52

Mulder

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Zitat:

Original von weizenhuhn
Bringt mir die Umformung die ich gemacht habe auf $\begin{eqnarray*} { \left( 1-\frac { 1 }{ n+1 } \right) }^{ n } \end{eqnarray*}$ eigentlich etwas?

Sicher doch, damit hast du doch schon die Form $\begin{eqnarray*} \exp(x) = \lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac xn \right)^n \end{eqnarray*}$ , hier eben mit $\begin{eqnarray*} x=-1 \end{eqnarray*}$ . Das konvergiert also gegen $\begin{eqnarray*} e^{-1}= \frac 1 e \end{eqnarray*}$ .

Man hat hier jetzt im Nenner zwar nicht n stehen, sondern n+1, das macht aber nichts. Klar machen kann man sich das z.B., indem man den Bruch mit $\begin{eqnarray*} 1- \frac{1}{n+1} \end{eqnarray*}$ erweitern. Dann hat man
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} { \left( 1-\frac { 1 }{ n+1 } \right) }^{ n } =\lim_{n \to \infty} \, \frac{{ \left( 1-\frac { 1 }{ n+1 } \right) }^{ n+1 }}{1-\frac { 1 }{ n+1 }} \end{eqnarray*}$

Nun konvergiert der Zähler gegen $\begin{eqnarray*} e^{-1} \end{eqnarray*}$ und der Nenner gegen 1, der Grenzwert des Bruches ist also (siehe Grenzwertsätze) $\begin{eqnarray*} e^{-1} \end{eqnarray*}$ .

05.04.2013, 18:18

weizenhuhn

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Super danke! Fällt mir zwar noch schwer, da von alleine drauf zu kommen, aber die Übung machts hoffentlich Augenzwinkern

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