Sportplatzrechenaufgabe |
| 04.04.2013, 16:56 | finus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Sportplatzrechenaufgabe Hallo zusammen, Ich habe von meine Lehrerin folgende Aufgaben bekommen: Ein Sportplatz mit einer 400m langen Laufbahn, die aus zwei parallen geraden Laufstrecken mit zwei angesetzten Halbkreisen besteht, soll so angelegt werden, dass das Rechteck zwischen den Geraden (Spielflächen) möglichst groß wird Wie lang werden dann die Geraden? Meine Ideen: Ich gehe davon aus, dass eine gerade und die zwei angesetzten Halbkreise 400m zusammne sind aber wie komme ich uaf die Gerade. Man könnte den Radius von eine Halbkreis ausrechnen und mal 2 nehmen allerdings weiß ich nicht wie ich auf den Radius komme. |
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| 04.04.2013, 17:11 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Sportplatzrechenaufgabe Diese Aufgabe ist ein Klassiker und schon mehrmals hier im Board besprochen worden. Suche einfach mal unter "Sportplatz" (klick mich), dann müsstest du sie finden. Lies dir die Threads durch und frage dann, wenn noch etwas unklar ist. Wenn du die Aufgabe doch hier durchrechnen möchtest, können wir das natürlich auch tun. 
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| 05.04.2013, 08:50 | finus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Vielen Dank ich habe dort geschaut. Jedoch ist es mir immer noch nicht ganz klar. Könntest du mir vielleicht doch helfen? 
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| 05.04.2013, 08:58 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Sportplatzrechenaufgabe
Erstmal bestehen die 400m aus den beiden Geraden und den beiden Halbkreisen. Und dann wäre es doch eine Idee, wenn du mal die Länge einer Geraden mit x bezeichnest. Wie groß muß dann der Radius eines Halbkreises sein? |
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| 05.04.2013, 09:29 | finus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
d.h BEIDE geraden und BEIDE Halbkreise haben eine Länge von 400m? Wenn das so wäre müsste man ja den Radius von den beiden Halbkreisen von 400m abziehen dann hätte ich ja die länge. Jedoch habe ich keine Ahnung wie ich auf den Radius komme wenn nur insgesamt 400m angegeben werden. |
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| 05.04.2013, 09:40 | finus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wenn ich für die Laufbahn x einsetze dann wäre es ja so: 2*x+2*den Radius=400m Jetzt habe ich zwei unbekannte. dann brauche ich doch eine Nebenbedingung? |
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| 05.04.2013, 09:45 | adiutor62 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich springe für klarsoweit kurz ein. Der Umfang ist: 2x+2r*pi (2 Halbkreise = 1 Vollkreis) Die Fläche des Rechtecks ist: x*2r |
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| 05.04.2013, 09:46 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Was du brauchst, ist die Hauptbedingung, sprich: eine Funktion, die die Größe beschreibt, deren Wert maximiert werden soll.
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| 05.04.2013, 10:37 | finus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ok jetzt habe ich gelacht naja dann habe ich wenigstens schon mal die nebenbedingung
Aber ich verstehe nicht was du meinst. Was wäre denn dann die hauptbedingung? Wahrscheinlich ist es zu einfach und ich komme nicht darauf
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| 05.04.2013, 10:40 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Dann frag dich doch mal, welche Größe maximiert werden soll. |
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| 05.04.2013, 10:57 | finus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Die Fläche des rechtecks also die spieflache muss maximiert werden. Um den flacheninhalt des rechtecks zu berechnen mus ich x*2r rechnen |
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| 05.04.2013, 11:49 | adiutor62 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Es gilt doch: U= 2x+2r*pi=400---> x+r*pi=200 Damit kannst du nach x auflösen und in die Flächenformel einsetzen. |
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| 05.04.2013, 12:27 | finus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Also wenn ich nach x auflöse wäre es dann so: x+3,14r=200 x= 200-3,14r oder darf ich für pi nicht 3,14 einsetzen? Dann würde es heißen x= 200-r/pi |
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| 05.04.2013, 12:31 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich würde das pi als pi stehen lassen. Allerdings muß es x = 200 - r*pi heißen.
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| 05.04.2013, 12:43 | finus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Also dann lasse ich es mal stehen. Wo soll ich denn jetzt das x einsetzen? In die Flächenformel vom Rechteck? |
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| 05.04.2013, 12:53 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Genau.
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| 05.04.2013, 13:12 | finus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Dann kann ich für pi jetz schon 3,14 einsetzen oder? Ar= x(länge)*y(Höhe) Ar= (200-r*pi)*y Ar=200y-3,14ry Jetz könnte ich doch y wieder ausklammern und r ausrechnen Ar=y(200-3,14r) 0=200-3,14r 63,69=r wäre das dann richtig? Und wie geht es weiter?
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| 05.04.2013, 13:33 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Nein, das pi läßt du bitte bis zum Schluß stehen. Außerdem hast du deine Flächenformel verändert. Was soll denn jetzt das y sein? 
So war es noch richtig:
Über den Rest der Rechnung legen wir den Mantel des Schweigens. (Grober Unfug ist noch milde.) |
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| 05.04.2013, 13:56 | finus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Naja 
ok dann setze ich x in Ar= x*2r einDann würde da stehen: Ar= (200-r*pi)*2r d.h ich nehme die ganze Klammer mal 2r oder? Ar=400r-r^2*pi*r Kann ichh dann jetzt pi auflösen? Oder rechne ich schon wieder schwachsinn? |
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| 05.04.2013, 14:30 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich weiß nicht, was du da gerechnet hast. Richtig ist: A(r) = 400r - 2r²*pi
Nein. Ich weiß nicht, warum du immer auf dem pi rumreitest. 
Wie du oben siehst, hast du jetzt eine Formel, die die Fläche in Abhängigkeit von r angibt. Davon brauchst du jetzt das Maximum, also dasjenige r, wo A(r) maximal ist. |
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| 05.04.2013, 14:44 | finus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Warum ich immer auf dem pi rumreite ist weil es mich in der Rechnung stört!!! Ich habe schon verstanden das ich jetzt das maximale Fläche brauche aber ich verstehe nicht wie ich das in Abhängigkeit von r rechnen soll? |
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| 05.04.2013, 14:47 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Meine Güte. Das pi ist doch nur eine Konstante. Ob da ein Symbol wie pi oder hugo steht oder eine 17 (was ja auch nur ein Symbol ist), ist doch wurscht.
Dann stellt sich die Frage, ob du jemals von einer Funktion das Maximum bestimmt hast.
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| 05.04.2013, 15:05 | finus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Also das habe ich schonmal gemacht das ist lange her!!! Ich habe die vermutung das es irgendetwas mit der 1. Ableitung zu tun ich bin mir allerdings nicht sicher. Ansonsten könntest du es mir bitte erklären? Weil ich komme nicht weiter so |
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| 05.04.2013, 15:08 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
In der Tat. Da solltest du mal in deinen Unterlagen nachschauen. Denn das sind jetzt benötigte Grundlagen. Das Thema "Ableitung" hier aufzuarbeiten, würde aber den Rahmen dieses Threads sprengen. |
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| 05.04.2013, 15:36 | finus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Also die ableitung wäre dann ich hoffe das ist richtig 400r-4r*pi bitte lass es richtig sein wenn ja muss ich es danach gleich null setzen? |
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| 05.04.2013, 15:55 | finus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
nein falsch
es wäre dann doch 400-4r*pi oder? |
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| 05.04.2013, 17:20 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ja, der letzte Vorschlag ist richtig: A'(r) = 400 - 4pi·r 
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| 05.04.2013, 17:23 | finus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
muss ich es dann gleich null setzten und nach r auflösen? aber was ich mit dem pi? |
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| 05.04.2013, 17:25 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das pi ist immer noch nur eine Zahl.
Ich habe es bewusst deshalb an die 4 geschrieben. Die stört dich doch auch nicht, oder? Was hast du denn mit der 4 vor? Und ja, die Ableitung wird Null gesetzt, da wir ja einen Extremwert suchen.
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| 05.04.2013, 17:31 | finus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Also ich würde das jetzt so machen 400-4r*pi=0 -4r*pi=-400 r*pi=100 r= 100/pi Könnte das Stimmen? |
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| 05.04.2013, 17:33 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das ist vollkommen richtig.
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| 05.04.2013, 17:41 | finus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
soll ich für r das so stehen lassen oder noch 100/3,14 rechnen? Und wie rechnen ich dann weiter weil das ist jetzt ja nur ein radius dann könnte ich es mal 2 nehmen und dann in x= 200-r*pi einsetzen oder? |
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| 05.04.2013, 17:46 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Du kannst schreiben: r= 100/pi m ~ 31,83 m Für die weitere Rechnung muss man sich die Aufgabenstellung anschauen:
Du suchst also die Länge der Geraden, die du x genannt hast. Was du also brauchst, ist eine Gleichung, in der du das Verhältnis von x zu r aufgeschrieben hast. (Diese Gleichung existiert schon, du hast sie gerade aufgeschrieben.)
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| 05.04.2013, 17:50 | finus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ist das diese Gleichung: 2x+2r*pi=400 oder was mir wahrscheinlicher vorkommt wäre: x*2r |
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| 05.04.2013, 17:53 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ja, und du kannst sie umstellen. Du hattset sie gerade aufgeschrieben: x= 200-r*pi Ich muss jetzt leider off gehen, aber du bist ja auch fast am Ziel. 
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| 05.04.2013, 17:54 | finus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
ok vielen Dank schonmal
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| 05.04.2013, 18:07 | finus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Also ich habe für x= 100,0538 rausbekommen wenn ich jetzt das Ergebnis in 2x+2r*pi einsetze kommt genau 400 raus dann muss es stimmen,oder?
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| 05.04.2013, 19:12 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Eigentlich kommt genau 100 für x raus: x = 200 - r*pi mit r = 100/pi x = 200 - (100/pi)*pi x = 200 - 100 x = 100
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| 05.04.2013, 19:58 | finus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Also wenn 100 raus kommen würde und mann würde es in 2*x+2*r*pi einsetzen dann würde nicht 400 rauskommen sondern 399,84844 zwar würde das fast stimmen aber nicht ganz. |
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| 05.04.2013, 20:05 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Die Gleichung ist: 400 = 2*x + 2*r*pi Wir setzen ein: r = 100/pi und x = 100 => 400 = 2*100 + 2*r*(100/pi) => 400 = 200 + 2*(100/pi)*pi => 400 = 200 + 200
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