Quotientengruppen

04.04.2013, 17:11	lagrange92	Auf diesen Beitrag antworten »
Quotientengruppen Meine Frage: G sei eine Gruppe $\begin{eqnarray} \wedge N \subset G \end{eqnarray}$ , wenn das gilt und $\begin{eqnarray} a \sim_{N} b \Leftrightarrow ab^{-1} \in N \end{eqnarray}$ , dann bezeichnet dies eine Äquivalenrelation auf G. Wie kann ich mir jetzt G/N als die Quotientengruppe von G modulo N vorstellen? Meine Ideen:* -
04.04.2013, 17:51	weisbrot	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Quotientengruppen fürs erste verständnis wären sicher die ganzen zahlen oder polynome gute beispiele. z.b. kennst du ja sicher Z/2Z - das sind einfach die restklassen ganzer zahlen mod 2. lg
04.04.2013, 17:54	ollie3	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Quotientengruppen hallo, das sind dann die äquivalenzklassen, die dann entstehen, wenn man jedes element aus der gruppe mit den zu ihm äquivalenten elementen zusammenfasst. gruss ollie3
04.04.2013, 18:27	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Vorsicht ! Die Äquivalenzrelation ist für eine beliebige Untergruppe N von G definiert. G/N wird genau dann durch aNbN:=abN zu einer Gruppe, wenn N ein Normalteiler von G ist. Eine Untergruppe N von G heißt Normalteiler von G, wenn für jedes g in G gilt gN=Ng.
04.04.2013, 19:01	lagrange92	Auf diesen Beitrag antworten »
Was genau versteht man unter einem Normalteiler?
04.04.2013, 19:29	weisbrot	Auf diesen Beitrag antworten »
eine untergruppe, die abgeschlossen unter konjugation von obergruppenelementen ist. nachlesen lg
Anzeige

05.04.2013, 18:27	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Definition habe ich schon mitgeliefert: N ist Normalteiler wenn für alle g in G gN=Ng.
06.04.2013, 08:53	lagrange92	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} gN := \left\{ gn\| n \in N\right\} \end{eqnarray}$ kann man diese Menge jetzt als Untergruppe in G auffassen?
06.04.2013, 09:50	Dummy_cool	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, denn jeder Normalteiler einer Gruppe ist eine Untergruppe
06.04.2013, 11:33	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Menge $\begin{eqnarray} gN \end{eqnarray}$ ist genau dann Untergruppe von G, wenn $\begin{eqnarray} g\in N \end{eqnarray}$ ist. In dem Fall ist $\begin{eqnarray} gN=N \end{eqnarray}$
06.04.2013, 15:13	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
gN ist im allgemeinen keine Untergruppe von G sondern eine Nebenklasse. Zum Beispiel in Vektorräumen V (additive abelsche Gruppe) definiert man Quotientenräume nach Unterräumen U durch $\begin{eqnarray} V/U=\{v+U:v \in V\} \end{eqnarray}$ . Diese sind vermöge $\begin{eqnarray} v_1+U+v_2+U:=v_1+v_2+U \end{eqnarray}$ und geeignet definierter Skalarmultiplikation wieder Vektorräume.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »