Teiler und Untergruppen zyklischer Gruppen

04.04.2013, 20:22	Timbonane	Auf diesen Beitrag antworten »
Teiler und Untergruppen zyklischer Gruppen Hallo! Es geht mir hier um eine ziemlich fundamentale Frage. Ich hab hier vor mir stehen, ich soll alle Untergruppen, sowie Teiler von $\begin{eqnarray} (\mathbb Z/18 \mathbb Z,+) \end{eqnarray}$ identifizieren, sowie auch schematisch darstellen, das habe ich glaub ich auch gemacht, anbei das Bild von meiner schematischen Darstellung http://s14.directupload.net/images/130404/bgy9rd6c.jpg. Ich weis also, dass es für jeden Teiler von 18 eine zyklische Untergruppe geben muss. Aber was ich nicht ganz verstehe, wie ich mir diese Untergruppen dann vorstellen kann. Wenn ich mir das richtig aufgeschrieben hab, müsste dann ja z.b. <3> der Erzeuger der Untergruppe von $\begin{eqnarray} (\mathbb Z/18 \mathbb Z,+) \end{eqnarray}$ mit der Ordnung 6 sein, oder? Aber wenn ich die vielfachen, oder alle Potenzen von 3 bilde, komme ich nicht auf meine 6 Elemente? Lieg ich mit meiner schematischen Darstellung nun komplett falsch, oder interpretiere ich das einfach total falsch? Danke im Voraus!
04.04.2013, 20:38	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Teiler und Untergruppen zyklischer Gruppen Nein, das ist richtig, in der Gruppe $\begin{eqnarray} \mathbb Z_{18};+ \end{eqnarray}$ hat 3 tatsächlich die Ordnung 6, die Untergruppe besteht aus folgenden 6 Restklassen modulo 18: [0], [3], [6], [9], [12], [15] und ist isomorph zu der Gruppe $\begin{eqnarray} \mathbb Z_6,+ \end{eqnarray}$
04.04.2013, 20:42	Timbonane	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Teiler und Untergruppen zyklischer Gruppen Ahhh, also nehm ich bei der additiv geschriebenen Gruppe auf jeden Fall n3, und nicht 3^n, weil ich das in der Vorlesung entweder nicht aufgeschrieben habe, oder wirs nicht explizit aufgeschrieben haben.. So wie dus aufgeschrieben hast, ist mir das jetzt auch verständlich....wenn ich gedacht die Repräsentanten durch 3 dividiere, hätte ich ja genau die üblichen 5 Repräsentanten für $\begin{eqnarray} \mathbb Z/6 \mathbb Z \end{eqnarray*}$ .... Vielen lieben Dank!
04.04.2013, 20:55	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Teiler und Untergruppen zyklischer Gruppen Im allgemeinen nimmt man schon die Potenz, aber hauptsächlich als Schreibweise, in additiven Gruppen ist das natürlich das Vielfache, spricht man allgemein von einer Gruppe so beschreibt man das Inverse zum Besipiel schon mit dem Exponenten -1, bei additiven Gruppen gilt halt $\begin{eqnarray} a^{-1}=-a \end{eqnarray}$ Wenn man eine additive Gruppe hat, dann ist die Potenz wie man sie aus den reellen Zahlen kennt doch auch gar nicht definiert....
04.04.2013, 21:03	Timbonane	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Teiler und Untergruppen zyklischer Gruppen Ja, darauf hätte ich inzwischen eigentlich auch schon selber kommen müssen.... Danke für die Erklärung!
05.04.2013, 13:23	Timbonane	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Teiler und Untergruppen zyklischer Gruppen Eine kleine Frage hätte ich dazu noch, weil ich aus dem Skriptum nicht so wirklich schlau werde: Sind die Untergruppen dann auch Teilmengen? Also ist $\begin{eqnarray} \mathbb Z/6 \mathbb Z \end{eqnarray}$ eine Teilmenge von $\begin{eqnarray} \mathbb Z/18 \mathbb Z \end{eqnarray}$ ? Das müsste doch eigentlich nicht der Fall sein, oder? Gibt es da auch einen Zusammenhang zwischen Teilern von 18 und Teilmengen? Danke im voraus
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