Topologie, Definition, wieso offen? |
| 04.04.2013, 21:03 | tobs | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| Topologie, Definition, wieso offen? Wir haben heute in der Vorlesung den Begriff der Topologie auf einer Menge X definiert: T c Potenzmenge(X) heißt Topologie auf X, wenn gilt 1) X und die leere Menge sind in T 2)endliche Schnitte von Elementen aus T sind in T 3)beliebige Vereinigungen von Elementen aus T sind in T Wieso ist jedes Element aus T offen? Meine Ideen: Besteht die Potenzmenge nur aus offenen Mengen und wenn ja, wieso? |
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| 04.04.2013, 21:24 | tobs | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
bzw. wenn man definiert, dass alles Elemente aus T offen heißen, wieso widerspricht das nicht der Definition der Offenheit via der Umgebung als Teilmenge |
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| 04.04.2013, 21:26 | tobs | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| topologie bzw. wenn man definiert, dass alles Elemente aus T offen heißen, wieso widerspricht das nicht der Definition der Offenheit via der Umgebung als Teilmenge |
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| 04.04.2013, 21:31 | weisbrot | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: topologie
weil beide definitionen äquivalent sind. lg |
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| 04.04.2013, 21:38 | tobs | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| topologie Also folgt aus den Bedingungen, dass Elemente aus T offen sein müssen? |
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| 04.04.2013, 22:02 | weisbrot | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| RE: topologie die "offenen" mengen in einer wie hier definierten topologie sind genau die offenen mengen der umgebungstopologie (also wenn man die umgebungsaxiome zu grunde legt und daraus offene mengen entsprechend definiert). falls du das anders meinst musst du deine frage etwas ausführlicher stellen. lg |
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| 05.04.2013, 00:40 | RavenOnJ | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: topologie
Nein, das folgt nicht daraus, sondern die offenen Mengen sind per definitionem die Elemente der Topologie.
Das ist die sogenannte diskrete Topologie, wenn alle Elemente der Potenzmenge in der Topologie enthalten sind. In dem Fall sind alle Teilmengen der Grundmenge offen und gleichzeitig abgeschlossen. Diese Topologie erfüllt alle Axiome einer Topologie, ist aber in gewissem Sinne uninteressant. Die gebräuchlichen Topologien, wie beispielsweise die Standardtopologie auf , bestehen nur aus einer Teilmenge der Potenzmenge. Im Allgemeinen enthält die Potenzmenge offene Mengen (die Elemente der benutzten Topologie T), abgeschlossene Mengen (die Komplemente der Mengen aus T), sowie Mengen, die weder offen noch abgeschlossen sind. Außerdem natürlich noch die leere Menge und die gesamte Grundmenge, die in jeder Topologie sowohl offen wie auch abgeschlossen sind. "Offen" und "abgeschlossen" schließen sich auch bei anderen Teilmengen nicht unbedingt gegenseitig aus, wie das Beispiel der diskreten Topologie zeigt. |
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| 05.04.2013, 10:16 | tobs | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| topologie Danke schonmal, also ich habe jetzt verstanden, dass die Elemente der Topologie offen heißen, also als offen definiert sind. Ich verstehe folgendes nicht ganz: Nehmen wir an die Grundmenge sei X = [-2,2] auf den reellen Zahlen. Wenn wir die diskrete Topologie betrachten also P(X), dann würde das ja bedeuten, dass die Teilmenge [-1,1] offen ist, sie ist aber doch abgeschlossen, weil wir für den Punkt 1 keine Epsilonumgebung finden, die in X liegt. |
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| 05.04.2013, 10:22 | RavenOnJ | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Dein Argument mit der e-Umgebung bewegt sich innerhalb der Standardtopologie. Du darfst nicht verschiedene Topolgien vermischen. Eine Menge, die in einer Topologie offen ist, kann in einer anderen Topologie abgeschlossen sein. |
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| 05.04.2013, 10:27 | tobs | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| topologie Danke! Das hat mir die Augen geöffnet 
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| 05.04.2013, 15:33 | weisbrot | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| RE: topologie nur noch fürs protokoll: so wie ich das gesagt hab ergibt das natürlich nicht viel sinn - die offenen mengen der verschiedenen topologien stimmen natürlich nur überein, wenn man sich anhand der einen die andere entsprechend wählt - die existiert auch immer und ist eindeutig - dann stimmen beide definitionen offener mengen überein. lg |
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| 05.04.2013, 16:01 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Mir kommt es auch so vor, als gäbe es hier ein Missverständnis. Die Definition offener Mengen durch Umgebungen, die der Fragesteller meint, scheint die in metrischen Räumen zu sein, nicht die über Umgebungsaxiome. Erstere kann nicht immer äquivalent zu einer allgemeinen Definition einer Topologie sein. Das kann nur dann sein, wenn die Topolgie "metrisierbar" ist. Und das wiederum ist z.B. nicht mehr der Fall, wenn die Topologie nicht Hausdorffsch ist. Außerdem ist etwa die schwache Topolgie auf topologischen Vektorräumen ein Beispiel für einen Hausdorffschen, aber nicht metrisierbaren topologischen Raum. |
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