grad, div und rot als Volumenableitung

04.04.2013, 21:45	Lampe16	Auf diesen Beitrag antworten »
grad, div und rot als Volumenableitung Ich babe mal gelernt, dass man grad, div und rot an einem Aufpunkt A im Ortsraum als Volumenableitung einführen kann, wie z. B. $\begin{eqnarray} \mathrm{grad}\,p(A)=\lim_{V\rightarrow 0}\frac{\oint_{\partial \mathcal{V}} p\,\mathrm{d}\vec A}{V}. \end{eqnarray}$ Kann mir jemand ein anerkanntes Mathematikbuch nennen, das sich als Quelle für diese Definitionsweise eignet? Bei Recherchen im Web einschließlich Wikipedia habe ich nichts Brauchbares gefunden.
05.04.2013, 01:33	RavenOnJ	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich kenne kein solches Buch, aber man kann sich das so klar machen: Man betrachtet an der Stelle r einen kleinen Würfel mit Volumen $\begin{align} \Delta x\Delta y\Delta z \end{align}$ . Das näherungsweise geschriebene Integral ist dann im Limes $\begin{align} \lim_{V\to 0}\frac{\oint_{\partial V}p \dd\vec A}{V} &= \lim_{V\to 0}\{e_x \frac{(p(r+e_x \Delta x)-p(r)) \Delta y \Delta z}{\Delta x\Delta y \Delta z} + e_y \frac{(p(r+e_y \Delta y)-p(r)) \Delta x \Delta z}{\Delta x\Delta y \Delta z}+e_z \frac{(p(r+e_z \Delta z)-p(r)) \Delta y \Delta x}{\Delta x \Delta y\Delta z}\}<br /> &= \lim_{V\to 0}\{e_x \frac{(p(r+e_x \Delta x)-p(r))} {\Delta x} + e_y \frac{(p(r+e_y \Delta y)-p(r)) }{\Delta y}+e_z \frac{(p(r+e_z \Delta z)-p(r)) }{\Delta z}\}<br /> &= e_x\frac{\partial p}{\partial x}+e_y\frac{\partial p}{\partial y}+e_z\frac{\partial p}{\partial z}<br /> &= \operatorname{grad}p(r)<br /> \end{align}$ Die $\begin{eqnarray} e_i \end{eqnarray}$ sollen dabei die Einheitsvektoren in x-,y-, und z-Richtung sein.
05.04.2013, 10:45	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich empfehle das Buch "Höhere Mathematik" von Georg Joos (1894-1959). Es hat bereits 13 Auflagen erlebt. Das Buch ist kompakt, einfach und lehrreich. Auf mathematische Schnörkel wird verzichtet. Die Operationen rot, div, grad werden (wie du es willst) als Volumenableitungen von Feldern definiert. Genau das war damals der Grund, warum ich mir das Buch gekauft habe. Diese Art der Definition benötigt man z.B. für das Verständnis der Elektrodynamik - insbesondere der Maxwellschen Gleichungen. In den meisten "reinen" Mathematikbüchern werden die Operationen rot, div, grad nur rein formal als Ableitungen definiert, ohne den Witz der Sache zu erklären. Das Buch von Joos ist da eine Ausnahme.
05.04.2013, 11:07	Lampe16	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke, RavenOnJ, für Deine Herleitung. Das geht sinngemäß für alle anderen Koordinatensysteme durch Anwendung auf das entsprechende Volumenelement. Ich finde, die Volumenableitung sollte in Lehrbüchern mehr gewürdigt werden. Inzwischen habe ich auch eine zitierbare Quelle gefunden: Bronstein, Semendjajew, Musiol, Mühlig: Taschenbuch der Mathematik, Verlag Harri Deutsch, Frankfurt, 8. Aufl. 2012, Abschn. 13.2, Räumliche Differentialoperatoren @Ehos Ich freue mich, in Dir einen Gleichgesinnten zu finden. Auch wenn die Volumenableitungen auf den ersten Blick spröde aussehen, steckt darin der "Witz" von grad, div und rot und die Nähe zu den Anwendungen und den entsprechenden Integralsätzen. Den Joos werde ich mir mal anschauen.
05.04.2013, 16:27	Antwortender_II	Auf diesen Beitrag antworten »
Im Heuser ist das auch drin. Ebenso in jedem E-Dynamik Skript.(Theo Physik)

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