Beweis von sin(-x)=-sin(x)

05.04.2013, 00:11	Dizzi	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis von sin(-x)=-sin(x) Meine Frage: Ich hab mir ein Buch aus der Schulbibliothek ausgeliehen "Schülerhilfen Trigonometrie", da ich ein Referat inklusive Ausarbeitung machen soll (bei uns GFS genannt) jetzt hab ich das Problem, dass dort drin steht, dass sin(-x)=-sin(x) sein soll, aber der Beweis dort nicht erläutert wird, weil er zu umständlich sei. Kann mir jemand das ganze kurz erklären bzw. beweisen, gerne vereinfacht, wenn es sonst zu kompliziert wird, aber vielleicht kann ich das dann ansatzweise nachvollziehen. Ich will nichts in die Ausarbeitung reinbringen, was ich nicht verstehe. Ich würde mich auch über zusätzliche Quellen freuen zum Sinus. Ich habe bisher noch keine Ahnung, wie ich da 5-7 reine Schriftseiten zusammenbekommen soll. Meine Ideen: Das einzige, woran es mich erinnert ist, dass man bei Logarithmen die Hochzahl vor den kompletten Logarithmus zieht und dass das hier ähnlich sein könnte. sin(-1x)=-1sin(x) oder sowas.
05.04.2013, 00:35	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Mir fällt jetzt folgende Möglichkeit ein: Es gilt: $\begin{eqnarray} \sin(x)=\sum\limits_{n=0}^\infty \left[(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}\right]=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-... \end{eqnarray}$ Also gilt: $\begin{eqnarray} \sin(-x)=\sum\limits_{n=0}^\infty \left[(-1)^n\frac{(-x)^{2n+1}}{(2n+1)!}\right]=(-x)-\frac{(-x)^3}{3!}+\frac{(-x)^5}{5!}-...=-x-\frac{-x^3}{3!}+\frac{-x^5}{5!}-... \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =-\left(x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-...\right)=-\sum\limits_{n=0}^\infty \left[(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}\right]=-\sin(x) \end{eqnarray}$ Eine andere Möglichkeit sieht so aus: $\begin{eqnarray} \sin(x)=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i} \end{eqnarray}$ Also: $\begin{eqnarray} \sin(-x)=\frac{e^{i(-x)}-e^{-i(-x)}}{2i}=\frac{e^{-ix}-e^{ix}}{2i}=\frac{-e^{ix}+e^{-ix}}{2i}=\frac{-(e^{ix}-e^{-ix})}{2i}=-\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}=-\sin(x) \end{eqnarray}$ Aber ich habe diese Formeln erst im Studium kennen gelernt. Ich weiß nicht, ob die für die Schule geeignet sind.
05.04.2013, 01:07	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Mir ist jetzt noch eine Möglichkeit eingefallen, die wahrscheinlich besser für die Schule geeignet ist. Die benutzt den Einheitskreis. [attach]29401[/attach] Hier kann man jetzt zu jedem Winkel $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ den zugehörigen Sinus ablesen (entspricht der Länge l der Gegenkathete, $\begin{eqnarray} l=\sin(\alpha) \end{eqnarray}$ ). [attach]29402[/attach] Hier hat der Winkel jetzt den gleichen Wert, nur negativ (weil er jetzt einen anderen mathematischen Drehsinn hat). Der Winkel ist jetzt also $\begin{eqnarray} -\alpha \end{eqnarray}$ . Damit kann man $\begin{eqnarray} \sin(-\alpha) \end{eqnarray}$ ablesen. Die Gegenkathete hat den gleichen Betrag wie oben, wird aber mit -l bezeichnet, weil sie ebenfalls eine andere Richtung hat (sie verläuft nach unten). Also ist $\begin{eqnarray} \sin(-\alpha)=-l \end{eqnarray}$ Wegen $\begin{eqnarray} l=\sin(\alpha) \end{eqnarray}$ (siehe erste Skizze) ist $\begin{eqnarray} -l=-\sin(\alpha) \end{eqnarray}$ und deswegen $\begin{eqnarray} \sin(-\alpha)=-\sin(\alpha). \end{eqnarray}$ Viele Grüße, 10001000Nick1

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