Ableitung nach Tensor 2D

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05.04.2013, 00:26	benwin	Auf diesen Beitrag antworten »
Ableitung nach Tensor 2D Ich knobel schon ein ganz Weile und hab mein Problem stark eingegrenzt, aber mit dem Verständnis hapert's dennoch. Die Lösung ist sicher einfach, wär schön, wenn mich jemand bei der Hand nehmen könnte. Es geht um die Ableitung eines Tensors 2.Ordnung nach sich selbst, eigentlich bei wiki schön beschrieben. Zusammengefasst (karthesische Basis denke man sich dazu): $\begin{eqnarray} \frac{\partial\mathbf{A}}{\partial\mathbf{A}}=\mathbf{I} \text{ bzw. } \frac{\partial A_{ij}}{\partial A_{kl}}=\delta_{ik}\, \delta_{jl} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{\partial\mathbf{A}^T}{\partial\mathbf{A}}=\mathbf{I}^T \text{ bzw. } \frac{\partial A_{ij}^T}{\partial A_{kl}}=\delta_{jk}\, \delta_{il} \end{eqnarray}$ Und dann heißt es: Therefore, if the tensor A is symmetric, then the derivative is also symmetric and we get $\begin{eqnarray} \frac{\partial\mathbf{A}}{\partial\mathbf{A}}=\mathbf{I}^{(s)}= \frac{1}{2}(\mathbf{I}+\mathbf{I}^T) \text{ bzw. } \frac{\partial A_{ij}}{\partial A_{kl}}=\frac{1}{2}(\delta_{ik}\, \delta_{jl}+\delta_{jk}\, \delta_{il}) \end{eqnarray}$ Das kann ich einerseits nachvollziehen. Aber warum für ein einzelnes Element bei symmetrischem A gilt $\begin{eqnarray} B_{1,2,1,2}=\frac{\partial A_{12}}{\partial A_{12}}=\frac{1}{2} \end{eqnarray}$ hingegen beim unsymmetrischen A $\begin{eqnarray} B_{1,2,1,2}=\frac{\partial A_{12}}{\partial A_{12}}=1 \end{eqnarray}$ krieg ich nicht in den Kopf. Weshalb ist das nicht ausschließlich von A(1,2) abhängig? Mir schwant vage etwas von der Kettenregel und einer Abhängigkeit von A(2,1), aber ich bring's nicht zusammen. Würd mich sehr freuen, wenn mir das jemand schonend beibringen könnte. Dank & Gruß! Benjamin
05.04.2013, 10:14	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn man eine Matrix nach sich selbst differenziert, also $\begin{eqnarray} \tfrac{\partial a_{hi}}{\partial a_{jk}} \end{eqnarray}$ , kann für eine feste Indexkombination h,i, j, k immer nur der Wert 1 oder 0 herauskommen kann - niemals 1/2, wie du schreibst. Für eine festes Indexpaar (z.B. 3 und 4) existieren nur zwei Kombinationen, für welche diese Ableitung nicht verschwindet, nämlich $\begin{eqnarray} \tfrac{\partial a_{34}}{\partial a_{34}}=1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \tfrac{\partial a_{43}}{\partial a_{43}}=1 \end{eqnarray}$ Allgemein ergibt die Ableitung also gerade dann den Wert 1, wenn beide Indexpaare oben und unten übereinstimmen (inklusive die Reihenfolge der Indizes) . Für alle anderen Indexkombinationen $\begin{eqnarray} \tfrac{\partial a_{34}}{\partial a_{jk}} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \tfrac{\partial a_{43}}{\partial a_{jk}} \end{eqnarray}$ verschwindet die Ableitung, z.B. $\begin{eqnarray} \tfrac{\partial a_{34}}{\partial a_{43}}=0 \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} \tfrac{\partial a_{43}}{\partial a_{34}}=0 \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} \tfrac{\partial a_{34}}{\partial a_{31}}=0 \end{eqnarray}$ usw. Das fasst man mit folgender allgemeinen Formel zusammen $\begin{eqnarray} \tfrac{\partial a_{hi}}{\partial a_{jk}}=\delta_{hj}\delta_{ik} \end{eqnarray}$ --------------- Wenn die Matrix symmetrisch ist, hat man mehr Indexkombinationen, bei denen die Ableitung den Wert 1 ergibt, nämlich $\begin{eqnarray} \tfrac{\partial a_{34}}{\partial a_{34}}=1 \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} \tfrac{\partial a_{43}}{\partial a_{43}}=1 \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} \tfrac{\partial a_{34}}{\partial a_{43}}=1 \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} \tfrac{\partial a_{43}}{\partial a_{34}}=1 \end{eqnarray}$ Das fasst man zuammen zu $\begin{eqnarray} \tfrac{\partial a_{hi}}{\partial a_{jk}}=\tfrac{1}{2}(\delta_{hj}\delta_{ik}+\delta_{hk}\delta_{ij}) \end{eqnarray}$
05.04.2013, 21:48	benwin	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für die Antwort! Bis zur letzten Formel ist alles klar, nur die Formel selbst ... ich hab wohl ein Brett vor'm Kopf, aber wenn das Kronecker-Delta hier nicht umgedeutet wird, bedeutet doch $\begin{eqnarray} \tfrac{\partial a_{hi}}{\partial a_{jk}}=\tfrac{1}{2}(\delta_{hj}\delta_{ik}+\delta_{hk}\delta_{ij}) \end{eqnarray}$ dass $\begin{eqnarray} \tfrac{\partial a_{34}}{\partial a_{34}}=\tfrac{1}{2}(\delta_{33}\delta_{44}+\delta_{34}\delta_{43})=\tfrac{1}{2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \tfrac{\partial a_{43}}{\partial a_{43}}=\tfrac{1}{2}(\delta_{44}\delta_{33}+\delta_{43}\delta_{34})=\tfrac{1}{2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \tfrac{\partial a_{34}}{\partial a_{43}}=\tfrac{1}{2}(\delta_{34}\delta_{43}+\delta_{33}\delta_{44})=\tfrac{1}{2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \tfrac{\partial a_{43}}{\partial a_{34}}=\tfrac{1}{2}(\delta_{43}\delta_{34}+\delta_{44}\delta_{33})=\tfrac{1}{2} \end{eqnarray}$ Mir wär "1" ja auch viel lieber, nur wie? Wo liegt mein Fehler?
08.04.2013, 09:31	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Man muss eigentlich auch die Basisvektoren hinschreiben. Es muss also richtig heißen: bei allgemeinen Matrizen: $\begin{eqnarray} \tfrac{\partial a_{hi}}{\partial a_{jk}}=\delta_{hk}\delta_{ij}\,\,\,\vec e_{h}\otimes \vec e_{i}\otimes\vec e_{j}\otimes\vec e_{k} \end{eqnarray}$ bei symmetrischen Matrizen: $\begin{eqnarray} \tfrac{\partial a_{hi}}{\partial a_{jk}}=\tfrac{1}{2}(\delta_{hk}\delta_{ij}+\delta_{hk}\delta_{ij})\,\,\,\vec e_{h}\otimes \vec e_{i}\otimes\vec e_{j}\otimes\vec e_{k} \end{eqnarray}$ Man muss also über alle Permutationen der 4 Indizes h,i,j,k summieren, wobei wegen der Symmetrie zwei Summanden der Summe nicht verschwinden, also insgesamt der Wert $\begin{eqnarray} \tfrac{1}{2}(1+1)=1 \end{eqnarray}$ herauskommt.
08.04.2013, 17:06	benwin	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke, ich hatte gehofft, dass Du nochmal hier reinschaust. Trotzdem, ich häng immer an derselben Stelle, ob nun wiki sagt "if the tensor is symmetric ... then we get", ob Du oben schreibst "das fasst man zusammen zu" oder jetzt "wegen der Symmetrie ... also insgesamt". Könntest Du vielleicht nur mal eine der Zeilen wo bei mir oben 1/2 rauskommt ganz konkret so umformen, dass da 1 bzw. 1/2(1+1) rauskommt? Grüße! ps: Die Summation die Du erwähnst, gibt es - glaub ich - nicht: $\begin{eqnarray} \mathbb{A}=\tfrac{\partial A}{\partial A}=\tfrac{\partial (a_{hi}\,\,\vec e_h \otimes \vec e_i)}{\partial (a_{jk}\,\,\vec e_j \otimes \vec e_k)}=\tfrac{\partial a_{hi}}{\partial a_{jk}}\,\,\vec e_h \otimes \vec e_i \otimes \vec e_j \otimes \vec e_k=\tfrac{1}{2}(\delta_{hj} \delta_{ik}+\delta_{hk} \delta_{ij})\,\,\vec e_h \otimes \vec e_i \otimes \vec e_j \otimes \vec e_k \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \mathbb{A}_{ijkl}=\tfrac{\partial a_{hi}}{\partial a_{jk}}=\tfrac{1}{2}(\delta_{hj} \delta_{ik}+\delta_{hk} \delta_{ij}) \end{eqnarray}$ ist eine konkrete Komponente von $\begin{eqnarray} \mathbb{A} \end{eqnarray}$ . Über h,i,j,k wird nicht summiert, und die Basisvektoren brauchen nicht berücksichtigt zu werden.
09.04.2013, 12:14	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Zur Schreibweise gibt es zwei Varianten (In beiden Fällen muss man summieren!): Variante A: Entweder du benutzt die Schreibweise mit den Basisvektoren wie in deiner Quellenangabe aus WIKIPEDIA, also $\begin{eqnarray} \tfrac{\partial a_{hi}}{\partial a_{jk}}=\sum_{hijk}\tfrac{1}{2}(\delta_{hj}\delta_{ik}+\delta_{hk}\delta_{ij})\,\,\,\vec e_{h}\otimes \vec e_{i}\otimes\vec e_{j}\otimes\vec e_{k} \end{eqnarray}$ Variante B: Oder du schreibst alles ohne die Basisvektoren. (Das finde ich besser, weil einfacher und kürzer.) Um die Sache zu zeigen, muss man in diesesm Falle deinen 4-stufigen Tensor $\begin{eqnarray} \tfrac{\partial a_{hi}}{\partial a_{jk}} \end{eqnarray}$ mit irgendeinem anderen 4-stufigen Tensor $\begin{eqnarray} T_{hijk} \end{eqnarray}$ verjüngen, wobei ein Skalar heraus kommt. Ich rechne beide Varianten mal vor. ----------------------------------------------- Variante A: Zum besseren Verständnis der obigen Formel mit den Basisvektorenbesser erläutere ich sie getrennt für Nichtdiagonalelemente und Diagonalelemente: Für Nichtdiagonalelemente sind die Indizes bei der Summation wie folgt einzuschränken $\begin{eqnarray} \tfrac{\partial a_{hi}}{\partial a_{jk}}=\sum_{h \neq i, j \neq k}\tfrac{1}{2}(\delta_{hj}\delta_{ik}+\delta_{hk}\delta_{ij})\,\,\,\vec e_{h}\otimes \vec e_{i}\otimes\vec e_{j}\otimes\vec e_{k} \end{eqnarray}$ Da hierbei nur über Nichtdiagonalelementen summiert wird, verschwindet in dieser Summe stets die Summanden $\begin{eqnarray} \delta_{hk}\delta_{ij} \end{eqnarray}$ . Dagegen tritt wegen der Symmetrie der Summand $\begin{eqnarray} \delta_{hj}\delta_{ik} \end{eqnarray}$ doppelt auf, z.B. $\begin{eqnarray} \delta_{33}\delta_{44}+\delta_{44}\delta_{33}=1+1=2 \end{eqnarray}$ . Der Faktor $\begin{eqnarray} \tfrac{1}{2} \end{eqnarray}$ vor der Summe sorgt dafür, dass insgesamt aber der Wert 1 herauskommt, also $\begin{eqnarray} \tfrac{1}{2}\cdot (1+1)=1 \end{eqnarray}$ . Für Diagonalelemente ist die Summation über die Indizes in der obigen Summe wie folgt einzuschränken $\begin{eqnarray} \tfrac{\partial a_{hi}}{\partial a_{jk}}=\sum_{h=i, j=k}\tfrac{1}{2}(\delta_{hj}\delta_{ik}+\delta_{hk}\delta_{ij})\,\,\,\vec e_{h}\otimes \vec e_{i}\otimes\vec e_{j}\otimes\vec e_{k} \end{eqnarray}$ Hierbei treten sowohl der Summand $\begin{eqnarray} \delta_{hk}\delta_{ij} \end{eqnarray}$ als auch der Summand $\begin{eqnarray} \delta_{hj}\delta_{ik} \end{eqnarray}$ jeweils ein Mal auf, so dass man wie oben bekommt $\begin{eqnarray} \tfrac{1}{2}\cdot (1+1)=1 \end{eqnarray}$ . --------------------------------------------------------------- Variante B: In dieser Schreibweise verjüngen wir deinen 4-stufigen Tensor $\begin{eqnarray} \tfrac{\partial a_{hi}}{\partial a_{jk}} \end{eqnarray}$ mit irgendeinem anderen 4-stufigen Tensor $\begin{eqnarray} T_{hijk} \end{eqnarray}$ . Das ergibt $\begin{eqnarray} \tfrac{\partial a_{hi}}{\partial a_{jk}}T_{hijk}=\tfrac{1}{2}(\delta_{hj}\delta_{ik}+\delta_{hk}\delta_{ij})T_{hijk}=\tfrac{1}{2}\cdot (\delta_{ik}T_{jijk}+\delta_{ij}T_{kijk})=\tfrac{1}{2}(T_{jkjk}+T_{kjkj}) \end{eqnarray}$ Speziell für die Diagonalelemente ist j=k. Dann reduziert sich das Ergebnis auf auf $\begin{eqnarray} \tfrac{1}{2}(T_{jjjj}+T_{jjjj})=T_{jjjj} \end{eqnarray}$ . Ist die Matrix symmetrsich, gilt ebenfalls k=j, so dass wir für die Nichtdiagonalelemente das das gleiche Ergebnis bekommen.
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09.04.2013, 22:51	benwin	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für Deine Zeit! Zumindest ist mir jetzt klar, warum ich Dich nicht verstanden hab. Wir verwenden verschiedene Nomenklaturen. Ich kenn es so: $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ bezeichnet einen Tensor 2. Ordnung $\begin{eqnarray} a_{ij} \end{eqnarray}$ bezeichnet die Komponente (i,j) dieses Tensors (keine Summe über i,j) $\begin{eqnarray} A=a_{ij}\,\vec e_i\otimes\vec e_j \end{eqnarray}$ stellt den Zusammenhang her (mit Summe über i,j). Bei Tensoren 4. Ordnung entsprechend: $\begin{eqnarray} \mathbb{A}=\tfrac{\partial A}{\partial A} \end{eqnarray}$ bezeichnet einen (speziellen) Tensor 4. Ordnung $\begin{eqnarray} \mathbb{A}_{hijk}=\tfrac{\partial a_{hi}}{\partial a_{jk}} \end{eqnarray}$ bezeichnet die Komponente h,i,j,k dieses Tensors (keine Summe über h,i,j,k) $\begin{eqnarray} \mathbb{A}=\tfrac{\partial A}{\partial A}=\tfrac{\partial (a_{hi}\,\,\vec e_h \otimes \vec e_i)}{\partial (a_{jk}\,\,\vec e_j \otimes \vec e_k)}=\tfrac{\partial a_{hi}}{\partial a_{jk}}\,\,\vec e_h \otimes \vec e_i \otimes \vec e_j \otimes \vec e_k \end{eqnarray}$ ist der Zusammenhang zwischen beidem (mit Summe über h,i,j,k). (Dass entspricht der Summenkonvention. $\begin{eqnarray} \tfrac{\partial a_{hi}}{\partial a_{jk}} \end{eqnarray}$ als Tensor zu bezeichnen, finde ich ziemlich irreführend. Eine Komponente dieses Tensors müsste man dann als $\begin{eqnarray} \left(\tfrac{\partial a_{hi}}{\partial a_{jk}}\right)_{mnop} \end{eqnarray}$ darstellen.) -------------------------- Im Fall unseres symmetrischen A heißt es mit der o.g. Nomenklatur also $\begin{eqnarray} \tfrac{\partial a_{hi}}{\partial a_{jk}}\,\,\vec e_h \otimes \vec e_i \otimes \vec e_j \otimes \vec e_k=\tfrac{1}{2}(\delta_{hj} \delta_{ik}+\delta_{hk} \delta_{ij})\,\,\vec e_h \otimes \vec e_i \otimes \vec e_j \otimes \vec e_k \end{eqnarray}$ (Identität der beiden Tensoren, Summation über h,i,j,k) und, da die Basisvektoren auf beiden Seiten identisch sind $\begin{eqnarray} \tfrac{\partial a_{hi}}{\partial a_{jk}}=\tfrac{1}{2}(\delta_{hj} \delta_{ik}+\delta_{hk} \delta_{ij}) \end{eqnarray}$ (Identität der Tensorkomponenten, keine Summation). Diese Gleichungen sind absolut gleichwertig für alle h,i,j,k. Ist die eine wahr, ist es zwingend die andere auch. Ich mach mal mit der Komponentendarstellung weiter, also ohne Summen und Basisvektoren. -------------------------- Du hast in Diagonalen- und Nichtdiagonalenelemente unterschieden, ich geh mal noch einen Schritt weiter und betrachte Haupt-, Neben- und Nichtdiagonalenelemente. Hauptdiagonale h=i=j=k Beispiel h=i=j=k=1: $\begin{eqnarray} \tfrac{\partial a_{11}}{\partial a_{11}}=\tfrac{1}{2}(\delta_{11} \delta_{11}+\delta_{11} \delta_{11})=1 \end{eqnarray}$ Nebendiagonale h=i, j=k oder h=j, i=k oder h=k, i=j Beispiel h=i=3, j=k=2: $\begin{eqnarray} \tfrac{\partial a_{33}}{\partial a_{22}}=0 \end{eqnarray}$ Beispiel h=j=3, i=k=2: $\begin{eqnarray} \tfrac{\partial a_{32}}{\partial a_{32}}=\tfrac{1}{2}(\delta_{33} \delta_{22}+\delta_{32} \delta_{23})=\tfrac{1}{2} \end{eqnarray}$ Beispiel h=k=3, i=j=2: $\begin{eqnarray} \tfrac{\partial a_{32}}{\partial a_{23}}=\tfrac{1}{2}(\delta_{32} \delta_{23}+\delta_{33} \delta_{22})=\tfrac{1}{2} \end{eqnarray}$ Beispiel h=i=2, j=k=3: $\begin{eqnarray} \tfrac{\partial a_{22}}{\partial a_{33}}=0 \end{eqnarray}$ Beispiel h=k=2, i=j=3: $\begin{eqnarray} \tfrac{\partial a_{23}}{\partial a_{32}}=\tfrac{1}{2}(\delta_{23} \delta_{32}+\delta_{22} \delta_{33})=\tfrac{1}{2} \end{eqnarray}$ Beispiel h=j=2, i=k=3: $\begin{eqnarray} \tfrac{\partial a_{23}}{\partial a_{23}}=\tfrac{1}{2}(\delta_{22} \delta_{33}+\delta_{23} \delta_{32})=\tfrac{1}{2} \end{eqnarray}$ Nichtdiagonale (Rest) alle Elemente: $\begin{eqnarray} 0 \end{eqnarray}$ Bleiben wir bei den Nebendiagonalen, ist ja genau Dein Beispiel. Und tatsächlich taucht der Term $\begin{eqnarray} \delta_{33} \delta_{22} \end{eqnarray}$ doppelt auf, sogar vierfach, wenn man $\begin{eqnarray} \delta_{22} \delta_{33} \end{eqnarray}$ mitzählt. Nur: Diese Terme kannst Du nicht addieren. Sie tauchen in verschiedenen Komponenten des Tensors auf! $\begin{eqnarray} \tfrac{\partial a_{32}}{\partial a_{32}} \end{eqnarray}$ ist die Komponente zu $\begin{eqnarray} \vec e_3 \otimes \vec e_2 \otimes \vec e_3 \otimes \vec e_2 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \tfrac{\partial a_{32}}{\partial a_{23}} \end{eqnarray}$ ist die Komponente zu $\begin{eqnarray} \vec e_3 \otimes \vec e_2 \otimes \vec e_2 \otimes \vec e_3 \end{eqnarray}$ . Oder anders $\begin{eqnarray} \tfrac{\partial a_{32}}{\partial a_{32}}=\mathbb{A}_{3232} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \tfrac{\partial a_{32}}{\partial a_{23}}=\mathbb{A}_{3223} \end{eqnarray}$ . Die Komponenten haben aus Symmetriegründen den gleichen Wert $\begin{eqnarray} \tfrac{1}{2} \end{eqnarray}$ , aber sie zu addieren ergibt nichts sinnvolles. ----------------------------- Damit zurück zur ganz ursprünglichen Frage. Warum (auf Komponentenebene) gilt für ein beliebiges A mit unabhängigen Komponenten $\begin{eqnarray} \tfrac{\partial a_{hi}}{\partial a_{jk}}=1 \end{eqnarray}$ und für ein symmetrisches A $\begin{eqnarray} \tfrac{\partial a_{hi}}{\partial a_{jk}}=\tfrac{1}{2} \end{eqnarray}$ ? Der Ansatz muss sein, die Symmetrie von A tatsächlich auf Komponentenebene zu berücksichtigen. Zum Beispiel durch die Substitution $\begin{eqnarray} a_{hi}=\tfrac{1}{2}(b_{hi}+b_{ih}) \end{eqnarray}$ . Aber dann häng ich hier: $\begin{eqnarray} \frac{\partial \tfrac{1}{2}(b_{hi}+b_{ih})}{ \partial \tfrac{1}{2}(b_{jk}+b_{kj})}=\tfrac{1}{2}(\delta_{hj} \delta_{ik}+\delta_{hk} \delta_{ij}) \end{eqnarray}$ und seh nicht, wie aus dem linken das rechte wird. Grüße, Benjamin
10.04.2013, 10:44	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast recht: Der Tensor $\begin{eqnarray} \tfrac{1}{2}(\delta_{hj}\delta_{ik}+\delta_{hk}\delta_{ij}) \end{eqnarray}$ ergibt für eine konkrete feste Indexkombination (z.B. h=3, i=4) nicht den Wert 1, sondern den Wert $\begin{eqnarray} \tfrac{1}{2} \end{eqnarray}$ . Wesentlich ist, dass man nach Vertauschung $\begin{eqnarray} hi \rightarrow i,h \end{eqnarray}$ den gleichen Wert $\begin{eqnarray} \tfrac{1}{2} \end{eqnarray}$ erhält. Bitte beachte folgendes: Der Sinn jedes Tensors besteht letztlich darin, einen Skalar zu erzeugen, indem man diesen Tensor mit einem anderen Tensor (gleicher Stufe und gleicher Indizes) absummiert, bis nur noch eine Zahl übrig bleibt (=Verjüngung). Wir wollen also den Tensor $\begin{eqnarray} \tfrac{\partial a_{hi}}{\partial a_{jk}} \end{eqnarray}$ mit irgendeinem anderen Tensor $\begin{eqnarray} T_{hijk} \end{eqnarray}$ zu einem Skalar $\begin{eqnarray} C=\tfrac{\partial a_{hi}}{\partial a_{jk}}T_{hijk} \end{eqnarray}$ summieren. Die scheinbar komplizierte Darstellung $\begin{eqnarray} \tfrac{\partial a_{hi}}{\partial a_{jk}}=\tfrac{1}{2}(\delta_{hj}\delta_{ik}+\delta_{hk}\delta_{ij}) \end{eqnarray}$ hat lediglich den Zweck, bei der Summierung die Vertauschbarkeit der Indizes bei $\begin{eqnarray} a_{hi}=a_{ih} \end{eqnarray}$ zu berücksichtigen - nicht mehr. Beispiel: Für h=3, i=4 treten in der Summe $\begin{eqnarray} C=\tfrac{\partial a_{hi}}{\partial a_{jk}}T_{hijk} \end{eqnarray}$ die beiden Summanden $\begin{eqnarray} \tfrac{1}{2}\underbrace{\delta_{33}\delta_{44}}_{=1}T_{3344}+\tfrac{1}{2}\underbrace{\delta_{44}\delta_{33}}_{=1}T_{3344} \end{eqnarray}$ auf, welche man zusammenfassen kann zu $\begin{eqnarray} \underbrace{\delta_{33}\delta_{44}}_{=1}T_{3344}=T_{3344} \end{eqnarray}$ . Das gleiche Ergebnis $\begin{eqnarray} \underbrace{\delta_{33}\delta_{44}}_{=1}T_{3344}=T_{3344} \end{eqnarray}$ erhält man natürlich auch mit der allgemeinen Formel $\begin{eqnarray} \tfrac{\partial a_{hi}}{\partial a_{jk}}=\delta_{hj}\delta_{ik} \end{eqnarray}$ für nichtsymmetrische Matrizen. Hier bekommt man das Ergebnis aber sofort und muss nicht wie oben umständlich zwei Summanden addieren.
10.04.2013, 18:11	benwin	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast schon auch recht; Du zeigst, dass der Tensor seinen/einen Zweck erfüllt. Der pragmatische Ansatz sozusagen. Auch wenn "der Sinn" meines Tensors nicht darin besteht, ein Skalar zu erzeugen (sondern tatsächlich einen Material zu beschreiben, indem z.B. in der Kontinuumsmechanik der Gradient zwischen Spannungen und Dehnungen gebildet wird) stimme ich unumwunden zu: Er funktioniert. Nur dass es im Rahmen einiger Berechnungen essentiell ist, zwischen $\begin{eqnarray} \delta_{hj}\delta_{ik} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \tfrac{1}{2}(\delta_{hj}\delta_{ik}+\delta_{hk}\delta_{ij}) \end{eqnarray}$ zu unterscheiden. Wenn z.B. die Tensoren 2. Ordnung A symmetrisch und B und C unsymmetrisch sind, so gilt $\begin{eqnarray} \frac{\partial A}{\partial A}:C \neq \frac{\partial B}{\partial B}:C \end{eqnarray}$ (Die linke Seite ergibt symC, die rechte C.) Da gibt' noch ein paar komplexere Zusammenhänge, aber ich glaube, wenn ich verstehe, d.h. mathematisch herleiten kann, warum in diesem Fall $\begin{eqnarray} \tfrac{\partial a_{hi}}{\partial a_{jk}}=\tfrac{1}{2}(\delta_{hj}\delta_{ik}+\delta_{hk}\delta_{ij})\,\, \end{eqnarray}$ also z.B. $\begin{eqnarray} \,\,\tfrac{\partial a_{23}}{\partial a_{23}}=\tfrac{1}{2} \end{eqnarray}$ aber $\begin{eqnarray} \tfrac{\partial b_{hi}}{\partial b_{jk}}=\delta_{hj}\delta_{ik}\,\, \end{eqnarray}$ also z.B. $\begin{eqnarray} \,\,\tfrac{\partial b_{23}}{\partial b_{23}}=1 \end{eqnarray}$ dann erschließen sich die komplexeren Dinge gleich mit.
11.04.2013, 00:07	benwin	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hab's! Endlich. Eigentlich ja doch ganz einfach. Also, wie schon geschrieben, auf Komponentenebene muss die Symmetrie eingebaut werden. Dazu definiere ich eine symmetrische A als Funktion der beliebigen Matrix B. Für die Komponenten gilt: $\begin{eqnarray} a_{hi}=a_{hi}(b_{hi},b_{ih})=\tfrac{1}{2}(b_{hi}+b_{ih}) \end{eqnarray}$ daraus folgt: $\begin{eqnarray} \frac{\partial a_{hi}}{\partial a_{jk}} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = \frac{1}{2}\frac{\partial (b_{hi}+b_{ih})}{\partial \,a_{jk}(b_{jk},b_{kj})} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = \frac{1}{2}\left(\frac{\partial (b_{hi} + b_{ih})}{\partial b_{jk}}\cdot\frac{\partial\, a_{jk}(b_{jk},b_{kj})}{\partial b_{jk}} + \frac{\partial (b_{hi}+b_{ih})}{\partial b_{kj}}\cdot\frac{\partial\, a_{jk}(b_{jk},b_{kj})}{\partial b_{kj}}\right) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = \frac{1}{2}\biggl((\delta_{hj}\delta_{ik}+\delta_{ij}\delta_{hk})\cdot \tfrac{1}{2}+(\delta_{hk}\delta_{ij}+\delta_{ik}\delta_{hj})\cdot \tfrac{1}{2}\biggr) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =\frac{1}{2}(\delta_{hj}\delta_{ik}+\delta_{ij}\delta_{hk}) \end{eqnarray}$ Danke nochmal für Deine Zeit Ehos, durch die Diskussion ist mir die ganze Geschichte deutlich transparenter geworden!
14.04.2013, 09:20	benwin	Auf diesen Beitrag antworten »
Falls jetzt nochmal jemand hier reinguckt und sich wundert: Das da oben ist natürlich Schwachsinn. Kettenregel anwenden wollen und dann die beide Terme vertauschen ... tsss. Schade, hätt so schön gepasst. Status also: Immernoch nicht klar.
28.11.2014, 14:30	Marvin@Infinity	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ableitung nach Tensor 2D Hallo zusammen! Habe heute zufällig Eure Diskussion aus dem letztem Jahr gefunden und denke, dass das Problem im Grunde gar keines ist ... ... der scheinbare Widerspruch liegt einzig in der 'unpräzisen' Notation der Ableitung! So wird im ersten Fall nicht der Tensor $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ abgeleitet, sondern die Identitätsfunktion $\begin{eqnarray} id \end{eqnarray}$ , die einem Tensor $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ den Funktionswert $\begin{eqnarray} id(A) := A \end{eqnarray}$ zuweist (analog also $\begin{eqnarray} id^T \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} id^T(A) := A^T \end{eqnarray}$ ), während es sich im letzten Fall um die Funktion $\begin{eqnarray} symm := \frac 12\left(id + id^T\right) \end{eqnarray}$ handelt, die einem Tensor $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ dessen symmetrischen Anteil $\begin{eqnarray} symm(A) = \frac 12\left(A + A^T\right) \end{eqnarray}$ zuweist und die dann symmetrische Eingabetensoren lediglich als Fixpunkte $\begin{eqnarray} symm(A) = A \end{eqnarray}$ besitzt. Da es sich um zwei verschiedene Funktionen handelt, sind auch die Ableitungen unterschiedlich! Bereits die Formulierung das man einen 'symmetrischen Tensor $\begin{eqnarray} A^T \end{eqnarray}$ ableiten' will ist genauso unsinnig wie die Aussage man wolle eine 'gerade natürliche Zahl ableiten' ... Somit ist die Feststellung von Benjamin das sich die beiden Ableitungen unterscheiden vollkommen korrekt! Gruß, Günter

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Ableitung nach Tensor 2D

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