Warum funktioniert die Taylor Reihe |
| 05.04.2013, 04:04 | Rick Perry | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Warum funktioniert die Taylor Reihe Wie kann es sein, dass man eine Funktion beliebig genau approximieren kann in beliebig weiter Entfernung von einem Punkt x0 obwohl man nur lokale informationen ueber die Funktion am Punkt x0 in Betracht zieht (alle Ableitungen an x0). Das hiesse ja, dass die Information des gesamten Verlaufen der Funktion irgendwie schon vollstaendig in Punkt x0 der Funktion enthalten ist? 
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| 05.04.2013, 09:21 | lgrizu | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Warum funktioniert die Taylor Reihe Die Taylorreihe konvergiert nicht immer gegen die Funktion, auf jeden Fall aber in einer Umgebung von , diese kann auch den Radius 0 haben, was bedeutet, dass sie nur im Entwicklungspunkt gegen die Funktion konvergiert. |
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| 05.04.2013, 16:07 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Warum funktioniert die Taylor Reihe Und in den Fällen, in denen die Taylor-Reihe gegen die Funktion konvergiert, wird ja nicht nur die Information verwendet, dass der Punkt auf dem Graphen liegt. Auch die Ableitungen werden berücksichtigt. Und wenn du weißt, wie hoch ein Wert zu einem Startzeitpunkt ist und wirklich alle Änderungen und Details des Wertes an dieser Stelle kennst, kann man damit in gewissen Fällen das weitere Verhalten vorhersagen. |
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| 05.04.2013, 16:22 | Antwortender_II | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Jo, aber dennoch erstaunlich, dass sich mit abzählbar unendlich vielen Werten(den Ableitungen an Entwicklungspunkt x0) die überabzählbaren Funktionswerte(auf dem gesamtem Intervall im R^1) darstellen lassen. |
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| 05.04.2013, 16:31 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Eine stetige Funktion auf (man braucht nicht einmal Differenzierbarkeit) ist ja aber auch schon durch ihre Werte auf der abzählbaren Menge eindeutig bestimmt 
Im übrigen wirst du dich sicher freuen, sobald du Funktionentheorie hörst und holomorphe Funktionen betrachtest. Für die funktioniert die Approximation durch Taylor-Reihen nämlich immer und sie sind auch schon durch ihre Werte auf irgendeiner beliebig kleinen Menge mit Häufungspunkt eindeutig bestimmt. |
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| 05.04.2013, 16:38 | RavenOnJ | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Aber nur innerhalb des Konvergenzradius, ansonsten muss man die analytische Fortsetzung bemühen. |
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| 05.04.2013, 17:26 | weisbrot | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
wie ist das gemeint? 
es wird immer mit einem wert in abzählbar vielen schritten ein neuer (fkts.wert) berechnet, aber nicht überabzählbar viele, auch wenn die funktion auf einer überabzählbaren menge definiert ist. lg |
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| 05.04.2013, 17:29 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Damit war gemeint, dass man mit Kenntnis der abzählbaren Menge manchmal auf die Elemente der überabzählbaren Menge schließen kann. |
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| 05.04.2013, 17:32 | RavenOnJ | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Die Taylorreihe ist eine Potenzreihe, die durch abzählbar viele Koeffizienten festgelegt ist. Die darstellbaren Werte sind aber überabzählbar viele. So erstaunlich finde ich das aber nicht. Der Codierungsaufwand für y=ax+b ist noch viel geringer. Trotzdem lassen sich damit überabzählbar viele Werte berechnen. |
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| 05.04.2013, 17:39 | weisbrot | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
@che: das kann ich auch durch kenntnis einer funktionsvorschrift, also manchmal auch durch endlich viele informationen/werte - scheint mir danach genauso erstaunlich zu sein. lg |
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| 05.04.2013, 17:43 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
@RavenOnJ: Polynome sind ohnehin langweilig
Die Approximation durch Taylor-Reihen ist aber tatsächlich nicht sehr erstaunlich; sie stellt ja starke Voraussetzungen an die Funktion (unendlich oft differenzierbar) und liefert auch nicht immer eine gegen diese konvergierende Reihe – noch seltener konvergiert sie überall. Erstaunlicher wären da Fourier-Reihen. Auch die Faber-Schauder-Basis ist ein interessanter Begriff, über den man sich in dem Zusammenhang informieren könnte. Sogar eine Hamel-Basis fände ich erstaunlicher als Taylor-Reihen. @weisbrot: In der Funktionsvorschrift sind aber schon überabzählbar viele Informationen enthalten, immerhin soll z.B. für alle gelten. |
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| 05.04.2013, 18:07 | Dopap | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
auch wenn langweilig, mal ne Frage angehängt: Gibt es einen Satz, dass stetige Funktionen durch ein Stützstellenpolynom beliebig approximierbar sind ? Und wenn ja, gibt es dann gewisse Mindestbedingungen an die Stützstellen.? |
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| 06.04.2013, 00:34 | weisbrot | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
@che: ja, darum ging es allerdings nicht - es war doch ursprünglich gemeint aus abzählbar vielen werten/informationen überabzählbar viele bekommt - was man eben SO nicht tut. ich werd jetzt aber aufhören den thread mit diesem thema zuzuspammen. @dopap: für stützstellen mit vorgegebener anzahl ganz sicher nicht, für beliebig viele geht das soweit ich weiß auf einem kompakten intervall (weierstraß). lg |
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| 06.04.2013, 00:46 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wird doch recht interessant 
Tatsächlich ist es notwendig, dass kompakte Mengen betrachtet werden. Auf nicht-abgeschlossenen beschränkten Mengen gibt es stetige Funktionen mit Polstellen am Rand, die man natürlich nicht gleichmäßig durch (auf beschränkten Mengen beschränkte) Polynome approximieren kann. Auf unbeschränkten Mengen kann man (bzw. ) betrachten – das wächst auch schneller als jedes Polynom und kann daher nicht gleichmäßig approximiert werden. Auf einem kompakten Intervall (Intervalle zu betrachten genügt hier) braucht man dann eine abzählbare dichte Teilmenge von Stützstellen . Die ersten beiden davon sind die Randpunkte des Intervalls und werden für das erste Interpolationspolynom verwendet. Nimmt man nun für das nächste Polynom eine weitere Stützstelle hinzu, so konvergiert diese Folge von Polynomen gleichmäßig gegen die beliebige betrachtete Funktion. |
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| 06.04.2013, 00:57 | RavenOnJ | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Dann wäre die Frage, wie diese Hamel-Basis aussieht. Außerdem besteht die Frage, von welchem Vektorraum. |
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| 06.04.2013, 01:06 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wie die aussieht, kann man wohl gar nicht sagen. Und als Vektorraum ist hier wohl etwas wie von Interesse. Dass es darin eine Hamel-Basis gibt, finde ich erstaunlicher als dass man manche sehr spezielle Funktionen lokal durch unendliche Reihe approxmieren kann. |
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| 06.04.2013, 01:43 | weisbrot | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
@che: das aber auch nur mit auswahlaxiom, oder? da ist vieles erstaunliches möglich. lg |
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