Darstellungsmatrix von Polynom

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Cesc_4 Auf diesen Beitrag antworten »
Darstellungsmatrix von Polynom
Meine Frage:
Hallo zusammen,
Ich lerne gerade auf eine Klausur und bin auf folgende Aufgabe gestoßen:

Sei V=P_2:= {p:p(x)=ax^2+bx+c, a,b,c element reell} der R-Vektorraum der Polynome von Grad kleiner gleich zwei. Betrachte die Abbildung T:P_2->P_2, p->Tp mit (Tp)(x):= p(x+1). Bestimme die Darstellungsmatrix A=M_B,^B(T) für die Basis B={1,x,x^2}

Meine Ideen:
Darstellungsmatrizen zwischen 2Matrizen sind kein Problem für mich aber hier komme ich nicht weiter. Mein Priblem ist, dass wenn ich vorgeh wie bei Matrizen also mit der 1.basis die Abbildung durchführe und dann versuche die Ergebnisse durch die Vektoren der Zielbasis darzustellen, hänge ich fest. Wie soll ich hier ein LGS aufstellen?

LG
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Überleg dir doch mal, wie das Polynom aussieht, wenn du die Translation durchführst, d.h. wenn du die Abbildung vornimmst.
Cesc_4 Auf diesen Beitrag antworten »

Dann bekomm ich ja
a(x+1)^2+b(x+1)+c ?

Muss ich jetzt meine basis miteinbeziehen?
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

ja, jetzt stell das in der Basis dar. Daraus ergibt sich dann die Matrix.
Cesc_4 Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm ich versteh nicht genau was du meinst.
Soll ich jetzt
a*1+b*x+c*x^2=a(x+1)^2+b(x+1)+c setzen?
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Nein. Du kannst doch den Ausdruck in der Basis entwickeln. Das ist nichts anderes als das Polynom in der Form zu schreiben. Die sind dabei natürlich in a,b und c auszudrücken.
 
 
Cesc_4 Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry aber ich steh grad voll aufm schlauch.
Soll ich jetzt q_i bestimmen?

q_2=a(1+2/x+1/x^2)
q_1= b(1+1/x)
q_0=c
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, in den kommen keine x mehr vor, nur a, b und c. Dies sind die Koeffizienten der Basispolynome.
Cesc_4 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hab jetzt nochmal überlegt
Is es korrekt dass
q_2=a
q_1=2a+b
q_0=a+b+c
Ist?

Bzw q_2 und q_0 müssen getauscht werden
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Cesc_4
Ich hab jetzt nochmal überlegt
Is es korrekt dass
q_2=a
q_1=2a+b
q_0=a+b+c
Ist?

Genau.

Zitat:

Bzw q_2 und q_0 müssen getauscht werden

verwirrt Darüber breiten wir besser den Mantel des Schweigens.

Jetzt mache weiter und konstruiere die Matrix für diese Abbildung. Bedenke dabei, dass man das Polynom als Vektor in der Basis schreiben kann.
Cesc_4 Auf diesen Beitrag antworten »

Also ist die matrix
(A+b+c, 2a+b, a) ?
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Nein. Es wird doch offensichtlich eine -Matrix gesucht. Was du da hingeschrieben hast ist der Bildvektor.
Cesc_4 Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt versteh ich gar nichts mehr.
Ich habe jetzt 1 bildvektor also benötige ich noch 2 andere?
Aber wie und woher bekomm ich diese?
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Gewöhn dir mal bitte an, deine Formeln in Latex zu codieren, so schwer ist das nicht.

Was ich Bildvektor genannt habe, ist derjenige Vektor in der Zielmenge, auf den ein Vektor durch die Abbildung T abgebildet wird. Der Vektor der abgebildet werden soll ist , der Vektor auf den dieser abgebildet wird ist . Die Abbildung zwischen diesen beiden Vektoren wird durch eine Abbildungsmatrix dargestellt, da es sich um eine lineare Abbildung zwischen Vektorräumen handelt (in dem Fall sogar eine lineare Abbildung eines Vektorraums auf sich selbst).
Cesc_4 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich glaub jetzt hab ichs.
Leider kann ich mit meim ipad latex nich benutzen :P

1 1 1
0 1 2
0 0 1

?
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Du kannst auch auf dem ipad jedes Zeichen eingeben (Tipps fürs ipad). Zur Not kannst du ja auch den Zitat-Button benutzen. Das sieht mir also eher wie eine faule Ausrede aus. Natürlich ist es nicht ganz so einfach, auf smartphone oder tablet die Codes einzugeben. Aber wenn man was will, sollte man sich auch bemühen.

Die Matrix ist richtig.
Cesc_4 Auf diesen Beitrag antworten »

Das hier war meine erste Frage in einem Forum und ich kenn mich leider nicht mit diesen ganzen Forenfunktionen aus. Zudem benutze ich Latex im Alltag nicht.

Aber ist ja egal. Vielen Dank für deine Hilfe.
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Niemand benutzt Latex im Alltag. Wenn du zukünftig hier postest, dann beschäftige dich bitte ein wenig mit Latex oder benutze den Formeleditor (s. Link rechts). Formeln in Latex müssen in Tags eingeschlossen werden:
code:
1:
[l]...[/l]

oder
code:
1:
[latex]...[/latex]


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