Gruppe (Z,+) erzeugen

05.04.2013, 11:25

steviehawk

Gruppe (Z,+) erzeugen

Meine Frage:
Hallo Leute, ich arbeite mich gerade in die Algebra ein und versuche mir das Erzeugendensystem von Gruppen an einem Bsp klar zu machen. Ich habe versucht das Analog, wie bei Vektorräumen zu machen, da habe ich ja zum Beispiel zwei Vektoren, mit denen kann ich alles erlaubte tun erhalte dann den R^2, es wäre hier sogar eine Basis. Ich darf aber ja nur die 2 nehmen und noch ein Faktor dran multiplizieren.

Jetzt zu den Gruppen. Als Beispiel: $\begin{eqnarray*} \mathbb Z , + \end{eqnarray*}$ ich habe geleses, dass die Gruppe von der einelementigen Menge 1 erzeugt wird. Das sehe ich noch nicht so ganz. Ich darf ja nur die 1 und plus verwenden.

Also habe ich ja nur:

$\begin{eqnarray*} 1 +1 = 2 \end{eqnarray*}$ okay, jetzt ist die 2 erzeugt, also kann ich auch die verwenden:

[l] 1+2 = 3 [/] okay, die 3 habe ich auch also kann ich dich auch verwenden usw..

wie bekomme ich jetzt die negativen Zahlen?? Ich kann ja keinen Faktor dran multiplizieren, da ich doch in der Gruppe nur die Verknüpfung + zur Verfügung habe.

Meine Ideen:
Vielen Dank für die Hilfe

05.04.2013, 11:31

jester.

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"Invertieren" ist doch auch eine zulässige Operation in Gruppen. D.h. zur $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ bekommst du sofort auch die $\begin{eqnarray*} -1 \end{eqnarray*}$ Augenzwinkern

05.04.2013, 11:38

steviehawk

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Ahh okay, das hat mir gefehlt. Ich hab das invertieren, nicht als zulässige Operation verstanden. Ich dachte eben nur, dass in der Gruppe G von welcher A Teilmenge ist eben ein Inverses existieren muss.
Kann ich daraus schließen, dass ich es auch als OP auffassen kann. Oder hat das was spezielles mit dem EZS zu tun?

05.04.2013, 11:53

jester.

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Das liegt schon an der Definition des Erzeugendensystems. Ist $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ eine Gruppe und $\begin{eqnarray*} M\subseteq G \end{eqnarray*}$ , dann ist ja $\begin{eqnarray*} \langle M \rangle = \bigcap_{U\leq G, ~ M \subseteq U} U \end{eqnarray*}$ , sodass die Inversen im Erzeugnis von $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ enthalten sind.

05.04.2013, 12:02

steviehawk

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ja stimmt, ist mir auch aufgefallen..

Habe ich das richtige verstanden, dass ich die Elemente, die ich erzeugt habe, so wie oben zum Beispiel die 2, dann verwenden kann um neue Elemente zu kreieren? Ist ja im Grunde nur ne andere Schreibweise:

1+1+1+1 = 1 + 3

also dürfte das wohl passen smile

05.04.2013, 23:50

jester.

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Zitat:

Original von steviehawk
Habe ich das richtige verstanden, dass ich die Elemente, die ich erzeugt habe, so wie oben zum Beispiel die 2, dann verwenden kann um neue Elemente zu kreieren?

Ja, auch das kannst du tun. Freude

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