Elliptische Funktion, Residuum

05.04.2013, 11:58

BeyondInfinity

Elliptische Funktion, Residuum

Hallo,

es geht um (in ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ ) meromorphe elliptische Funktionen $\begin{eqnarray*} f \in K(\Gamma) \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} K(\Gamma) \end{eqnarray*}$ für ein gegebenes Gitter $\begin{eqnarray*} \Gamma \subset \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ den Körper aller elliptischen Funktionen bezeichne, deren Periodengruppe das Gitter $\begin{eqnarray*} \Gamma \end{eqnarray*}$ enthält.

Nun zu meinen Fragen:

a) Warum ist für eine elliptische Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ auch ihre Ableitung $\begin{eqnarray*} f' \end{eqnarray*}$ elliptisch?

Meine Idee wäre die folgende: $\begin{eqnarray*} f '(z) = \frac{d}{dz} f(z) = \frac{d}{dz} f(z + \gamma) = f ' (z + \gamma) \end{eqnarray*}$ für eine Periode $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ .

b) Ich habe hier folgenden Satz:

Zitat:

Sei $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ eine elliptische Funktion und $\begin{eqnarray*} a_1, \, ..., \, a_n \end{eqnarray*}$ seien die Pole von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} P := \{ t_1 \gamma_1 + t_2 \gamma_2 \, | \, 0 \leq t_1, \, t_2 < 1 \} \end{eqnarray*}$ für zwei über den reellen Zahlen linear unabhängige Perioden $\begin{eqnarray*} \gamma_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \gamma_2 \end{eqnarray*}$ . Dann gilt:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n Res(f, \, a_k) = 0 \end{eqnarray*}$ .[quote]

Aus diesem Satz folgt ein weiterer Satz. Im Beweis dieses weiteren Satzes heißt es sinngemäß ( $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ist immer noch eine elliptische Funktion):

[quote] $\begin{eqnarray*} g = \frac{f'}{f} \end{eqnarray*}$ ist eine elliptische Funktion. Nach dem vorherigen Satz ist also die Summe der Residueen dieser Funktion in $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ gleich $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ . Andererseits berechnet dieses Gesamtresiduum die Differenz aus Null- und Polstellen von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ .

Meine Frage ist: Wieso berechnet das Gesamtresiduum diese Differenz?
Meine Idee wäre, dass die Nullstellen von $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ gerade die Polstellen von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ und die Nullstellen von $\begin{eqnarray*} f' \end{eqnarray*}$ sind, nachdem man so weit wie möglich gekürzt hat. Umgekehrt mit den Polstellen. Ich schaffe es aber irgendwie nicht, das ganze in einen Zusammenhang mit dem Residuum zu bringen.

c) Es geht um eine Formulierung in der Literatur. Die Notation sei wie oben.

Zitat:

Wir betrachten nun eine beliebige nichtkonstante gerade elliptische Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ . Da $\begin{eqnarray*} f' \end{eqnarray*}$ nur endlich viele Nullstellen in $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ hat, gibt es ein $\begin{eqnarray*} m \in \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ , so dass $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ fast alle $\begin{eqnarray*} c \in \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ an genau $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ verschiedenen Punkten in $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ annimmt.

Das macht für mich einfach keinen Sinn...

Würde mich freuen, wenn mir jemand helfen könnte. Danke schon mal im Voraus!

05.04.2013, 12:19

Che Netzer

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RE: Elliptische Funktion, Residuum

Zitat:

Original von BeyondInfinity
Meine Idee wäre die folgende: $\begin{eqnarray*} f '(z) = \frac{d}{dz} f(z) = \frac{d}{dz} f(z + \gamma) = f ' (z + \gamma) \end{eqnarray*}$ für eine Periode $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ .

Das sieht schon ganz gut aus, ganz formal hätte ich das vielleicht eher über den Differentialquotienten aufgeschrieben. Anschaulich: Wenn sich die Werte der Funktion wiederholen, dann auch deren Steigung.

Zitat:

Meine Frage ist: Wieso berechnet das Gesamtresiduum diese Differenz?

Das ist ein weiterer Satz, den ihr bestimmt schonmal bewiesen habt.
Ansonsten: Eine meromorphe Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ mit Null-/Polstellen $\begin{eqnarray*} z_1,\dotsc,z_n \end{eqnarray*}$ lässt sich als
$\begin{eqnarray*} f(z)=(z-z_1)^{k_1}\dotsb(z-z_n)^{k_n}g(z) \end{eqnarray*}$
darstellen, wobei $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ null- und polstellenfrei ist.
Dann erhält man
$\begin{eqnarray*} \frac{f'(z)}{f(z)}=\frac{k_1}{z-z_1}+\dotsb+\frac{k_n}{z-z_n}+\frac{g'(z)}{g(z)}\,. \end{eqnarray*}$
Reicht dir das?

Zitat:

Das macht für mich einfach keinen Sinn...

Was genau ist denn das Problem? Ist schon die Aussage unverständlich?

05.04.2013, 12:47

BeyondInfinity

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Danke für deine Antwort. smile

Zu c): Ich habe glaube ich einfach vergessen, dass es sich hierbei ja um eine meromorphe und nicht um eine holomorphe Funktion handelt. Dann macht die Aussage mehr Sinn.

Zu b): Der Satz ist mir unbekannt; habe nur Funktionentheorie I gehört und da wurde das nicht bewiesen. Aber dann versuch ichs mir mal herzuleiten:

Dass $\begin{eqnarray*} \frac{f'}{f} \end{eqnarray*}$ für dein angegebenes $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ diese Form hat, ist klar. Alle Null- und Polstellen von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ werden also zu einfachen Polen von $\begin{eqnarray*} \frac{f'}{f} \end{eqnarray*}$ .
Zu zeigen ist $\begin{eqnarray*} \sum_{j=1}^n k_j = 0 \end{eqnarray*}$ unter Verwendung von $\begin{eqnarray*} \sum_{j=1}^n Res(\frac{f'}{f}, \, z_j) = 0 \end{eqnarray*}$ .
Jetzt ist aber $\begin{eqnarray*} Res(\frac{f'}{f}, \, z_j) = k_j \end{eqnarray*}$ , weil es sich dabei gerade um den entsprechenden Koeffizienten in der Laurententwicklung von $\begin{eqnarray*} \frac{f'}{f} \end{eqnarray*}$ um $\begin{eqnarray*} z_j \end{eqnarray*}$ handelt.

Ich glaube, das sollte passen. smile

05.04.2013, 13:01

Che Netzer

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Ja, das passt so.

05.04.2013, 13:07

BeyondInfinity

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Vielen Dank! Wink

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